Помогите решить задачу

[wall-e]

Помогите доказать. Используя предварительное определение обратной матрицы: матрица B€MАTn,m(R) называется обратной матрицей к А€MАTm,n(R), если А*В=Еm, а B*A=En.
Необходимо доказать, что если матрица А€MАTm,n(R) обладает обратной матрицей, то m=n.

[ewert]

Произведение высокой матрицы на широкую не может быть равно единичной, т.к. размер произведения равен ширине второго сомножителя, а ранг произведения -- не более высоты. Т.е. ранг меньше размера.

(да, и: что за обозначения, Создатель?...)

[wall-e]

Пишу не с компа, поэтому и обозначения корявые малость. Известно что если В-обратная матрица к А, то А*В=Еm, то есть одной единичной матрице, а В*А=Еn, то есть другой единичной матрице. Необходимо доказать, что m=n. Произведение то существует по предварительному определению

[ewert]

Ещё раз: ранг произведения не может быть больше ранга каждого из сомножителей. Ранг матрицы не превышает каждого из её размеров. Поэтому при перемножении в хотя бы одной из двух последовательностей ранг произведения (неквадратных матриц) обязательно будет меньше размера произведения. А у единичной матрицы ранг совпадает с размером.

[wall-e]

А не могли бы Вы это расписать используя математические обозначения, пожалуйста

[ewert]

Не следует. Надо понимать суть происходящего, а не буковками играться.

Что такое ранг матрицы?
Что можно сказать про ранг, если ширина матрицы больше высоты?
Чему равен ранг единичной матрицы?

[wall-e]

это наибольший порядок отличного от нуля минора:-) ну или ноль в случае если это нулевая матрица:-)
Это то ясно. Просто мне нужно это оформить грамматно

-- Пт окт 30, 2009 23:45:50 --

все:-) дошло:-) спасибо большое:-)

[ewert]

wall-e в сообщении #256848 писал(а):

это наибольший порядок отличного от нуля минора:

А ещё, что гораздо существеннее для приложений -- это максимальное количество линейно независимых строк матрицы (или, что эквивалентно, столбцов).