Симплектическая геометрия и алгебры Ли

[AsperMM]

Рассмотри вещественную группу Ли $g$, кокасательное пространтсво в единице $G^*$, некоторую функцию $H$ на $G^*$. По функции $H$ строим левоинвариантную функцию $\bar{H}$ на кокасательном расслоении к группе $T^*g$. Известно, что кокасательное расслоение к многообразию наделено некоторой стандартной симплектической структурой. Поэтому на $T^*g$ можно построить гамильтоновго векторное поле $v$ с гамильтонианом $\bar{H}$.

Согласно [1], поле $v$ будет левоинвариантным. Мой вопрос относительно этого поля. Определим естественную проекцию $\pi : T^*g \rightarrow g$ из кокасательного расслоения к группе в группу. Как известно, дифференциал любого гладкого отображения является линейным оператором на касательных пространтсвах. Тем самым, $d\pi (e, \eta) = w \in G$. Здесть $e$ --- единица группы, $\eta \in G^*$ --- элемент кокасательного простанства в единице, $G$ --- касательное пространство в единице (т.е.алгебра Ли). Правда ли, что $w= \pm dH(\eta)$? (дифференциал функции на коалгебре всегда лежит в алгебре)

Если это так, то откуда это следует, и где об этом можно почитать?

[1] Фоменко А.Т., Симплектическая геометрия