2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Система уравнений (тригонометрия)
Сообщение17.05.2006, 17:48 
Как мне решить такую систему,т.е. найти k (целые),где C_1=const,C_2=const и одновременно эти константы не равны нулю!
$$
\left\{ \begin{array}{l}
 C_1  \cdot \cos (\frac{\pi }{2}k) + C_2  \cdot \sin (\frac{\pi }{2}k) = 0 \\
  - C_1  \cdot \sin (\frac{{5\pi }}{4}k) + C_2  \cdot \cos (\frac{{5\pi }}{4}k) = 0 \\
 \end{array} \right.
$$

 
 
 
 
Сообщение17.05.2006, 21:13 
Аватара пользователя
Поделить оба уравнения на $r=\sqrt{C_1^2+C_2^2}$. И обозначить $\alpha = \arccos(C_2/r)$. Тогда исходная система принимает вид
$\left\{\begin{array}{l}\sin(\alpha+\frac{\pi}{2}k) = 0\\
\cos(\alpha+\frac{5\pi}{4}k)=0\end{array}\right.$
Откуда
$\left\{\begin{array}{l}\alpha+\frac{\pi}{2}k = \pi m\\
\alpha+\frac{5\pi}{4}k = \frac{\pi}{2} + \pi n\end{array}\right.$
где $m,n$ - целые числа.
Из первого уравнения следует, что система имеет целые решения только если $\alpha$ имеет вид $\pi s/2$, где s - целое число. В этом случае
$\left\{\begin{array}{l}s+k = 2m\\
2s+5 k = 2 + 4n\end{array}\right.$
Откуда следует, что $4n = 10m-3s-2$ и $k=\frac{2+4n-4m}{3}=2m-s$.
Итак, $k=2m-\frac{2}{\pi}\arccos\left(\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\right)$, где m - произвольное целое число.

 
 
 
 
Сообщение17.05.2006, 21:13 
Если k все-таки целые, то в первом уравнении или sin, или cos равны 0. То есть рассмотреть чётность k и отбросить неудовлетворяющие условия значения.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group