Задача на метод Лекса (LAX)

[antoshka1303]

Имеется вот такое волновой уравнение с переменным коэффициентом

$$ {\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }} = a^2 \left( x \right)\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }}} $$ $$ {\left. u \right|_{t = 0} = \varphi \left( x \right)\theta \left( {x - y} \right)} $$ $$ {\left. {\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right|_{t = 0} = 0} $$

Где

$$ \theta \left( x \right) $$

=1,если х

$$ \geqslant $$

0,

$$\theta \left( x \right)$$

если х<0

считаем

$$ a,\varphi \in C^\infty $$

, то есть бесконечно раз дифференцируемы

Существует несколько вариантов решения такой задачи:
1) с точностью до непрерывной функции
2) с точностью до непрерывной первой производной.

Посоветуйте литературу по этому вопросу.Да и книжку, в которой рассказывается доступно про метод Лекса(LAX)

[shwedka]

Странно это все. Имеются методы Лакса (так он произносится) для численного решения уравнений, методы Лакса в теории нелинейных уравнений, но в твоей задаче такой термин не встречается.
Я проверила практически всю существующую литературу.
Имеется классическая статья Куранта и Лакса,
R. Сourant, P.Lax, Propagations of discontinuities in wave motions,
Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 42, (1956) 872-876,
где твоя задача, в общем виде рассматривается,
и по существу из этой статьи вся наука о негладких решениях гиперболических уравнений и выросла, но методом Лакса ее никогда не называли.
Простых изложений метода я не знаю.
Пожалуй, можно посмотреть в книжке Адамара, 'Плоские волны и сферические средние.....', переводилась где-то в 80-е годы,
но у меня под рукой нет.
и в седьмой главе книги Куранта 'Уравнения в Ч.Произв.'
тоже переводилась много лет назад, но в библиотеках должна быть.
По существу.
попробуй искать приближенное решение в виде
$u(x,t)=A(x,t)\theta(f_1(x)-t)+B(x,t)\theta(f_2(x)+t)$
где $A(x,t),f_1(x),B(x,t),f_2(x)$ неизвестные функции.
Подставьте это в уравнение и начальные условия., получится много членов, в том числе, содержащие дельта-функцию и ее производную.
Нужно приравнять нулю коэффициенты при дельта-функции и производных, и тогда получатся уравнения для неизвестхых функций. Попробуй....

[V.V.]

Методом Лакса называют асимптотику по гладкости на кафедре прикладной математики Московского института электроники и математики.

Изложенная антошкой задача предложена на лекциях по уравнениям математической физики как призовая, т.е. за ее решение ставится автомат.

[antoshka1303]

V.V. писал(а):

Методом Лакса называют асимптотику по гладкости на кафедре прикладной математики Московского института электроники и математики.

Изложенная антошкой задача предложена на лекциях по уравнениям математической физики как призовая, т.е. за ее решение ставится автомат.

Так оно и есть. я задачу почти решил;)Автомат от меня не уйдет!!