Представьте себе бесконечно малую окрестность какой-либо точки (т.е. маленький шарик с центром в данной точке). Точка множества называется его внутренней точкой если её окрестность полностью лежит в данном множестве. Если окрестность точки лежит полностью вне множества, то такая точка называется внешней. В оставшемся случае точка называется граничной точкой данного множества.
Так вот, если множество состоит только из внутренних точек, то оно открыто. Все граничные точки образуют границу множества. Если открытое множество дополнить его границей (т.е. замкнуть), то оно станет замкнутым.
Примерно так, могу и ошибаться.
