Тождество (комплексные числа)

[rar]

Верно ли тождество:

$$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$

У меня при доказательстве получилось, что - нет.

[ИСН]

Начните с малого. Для произведения всё ли ясно?

[EtCetera]

Проще всего действовать в экспоненциальной форме записи. Тогда все очевидно:
$-(\arg z_1 - \arg z_2)=(-\arg z_1)-(-\arg z_2)$
P.S. И для произведения совершенно ничего не изменится...

[rar]

ИСН в сообщении #255344 писал(а):

Начните с малого. Для произведения всё ли ясно?

Для произведения все ясно: подобное утверждение выполняется.
А у меня для деления, получилось что - нет.

[EtCetera]

А чем деление так принципиально отличается от умножения (в данном контексте)? Запишите тождество в экспоненциальной форме и все сразу же станет ясно.

[alex_rodin]

Ваше равенство равносильно

$$ \frac {\overline \left ( z_1 \overline z_2 \right )} {\left |z_2\right|^2} = \frac {\overline z_1 z_2 } {\left |z_2\right |^2}$$

[ИСН]

(Не обращая ни на кого внимания, тупо гну свою линию, как та антилопа)
А для $1\over z$ - ясно?

[Someone]

rar в сообщении #255332 писал(а):

Верно ли тождество:

$$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$

У меня при доказательстве получилось, что - нет.

Ошиблись в вычислениях. Если сначала разделить $\frac{a+bi}{c+di}$, а потом $\frac{a-bi}{c-di}$, то всё получается.

[rar]

Спасибо. Действительно, где-то в вычислениях ошибся. Тождество - верное.

[RIP]

Кстати, проверка этого тождества стандартным образом сводится к проверке тождества для произведения, если записать его в виде $\overline z_2\cdot\overline{(z_1/z_2)}=\overline z_1$.