Уравнение содержащее комплексное число

[rar]

Подскажите, как решать подобные уравнения, содержащие комплексные числа:

$$z^2+\overline{z}=0$$

[ShMaxG]

rar
Представьте $\[z = x + i \cdot y\]$. Затем приравняйте всю действительную часть к нулю и всю мнимую часть к нулю. Получите систему уравнений, ее и решайте.

[venco]

rar в сообщении #255251 писал(а):

Подскажите, как решать подобные уравнения, содержащие комплексные числа:

$$z^2+\overline{z}=0$$

В данном случае, наверно, проще подставить $z=a e^{i \omega}, \overline z = a e^{-i \omega}$.

[rar]

venco, пока не могу. Я с самого начала учебник читаю. Эти формулы идут потом и надо делать без них.

$$z^2+\overline{z}=0$$

$$(x+iy)^2+x-iy=0$$

$$x^2-y^2+x+i(2xy-y)=0+i\cdot 0$$

$$\left\{ \begin{array}{r} x^2-y^2+x=0 \\ 2xy-y=0 \end{array}$$

Правильно делаю?

[ShMaxG]

rar
Да, все верно.

[venco]

Верно, но вы умаетесь решать эту систему.

[Xaositect]

venco в сообщении #255290 писал(а):

Верно, но вы умаетесь решать эту систему.

Нижнее уравнение раскладывается на линейные множители.

[rar]

Помогите правильно решить. А-то у меня как-то сумбурно все получается.

$$y(2x-1)=0$$

Если

$$y=0$$

то легко находятся два решения:

$$\left\{ \begin{array}{l} y=0 \\ x=0 \end{array}\Longrightarrow z=0$$

$$\left\{ \begin{array}{l} y=0 \\ x=-1 \end{array}\Longrightarrow z=-1$$

Но там еще два решения есть. Вот как их найти...

Хотя.

$$y(2x-1)=0$$

Если

$$x=\frac{1}{2}$$

то:

$$\left\{ \begin{array}{l} y=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ x=\frac{1}{2} \end{array}\Longrightarrow z=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\left\{ \begin{array}{l} y=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ x=\frac{1}{2} \end{array}\Longrightarrow z=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$$

[ShMaxG]

Ну вот, все правильно.

[rar]

ShMaxG в сообщении #255306 писал(а):

Ну вот, все правильно.

Спасибо.

[Профессор Снэйп]

Для начало можно просто заметить, что если $z^2 + \bar{z} = 0$, то $|z|^2 = |z^2| = |\bar{z}| = |z|$, так что $|z| = 0$ или $|z|=1$. Первый случай тривиален, во втором $z = \cos \varphi + i \sin \varphi$ и мы имеем систему

$$ \begin{cases} \cos 2\varphi + \cos \varphi = 0 \\ \sin 2\varphi - \sin \varphi = 0 \end{cases} $$

из которой всё тривиально находится.