Экстремум функции трех переменных

[Mystery]

Напомните пожалуйста как его искать-то.
Для двух понятно - необходимое условие - частные производные равны нулю, достаточное - определитель из вторых производных > 0.

Необходимое условие для трех тоже самое, а вот достаточное так же звучит? первая строка $f''_{xx} f''_{xy}f''_{xz}$, вторая - $f''_{yx} f''_{yy}f''_{yz}$третья - $f''_{zx} f''_{zy}f''_{zz}$ - если опеределитель > 0 то экстремум есть, причем максимум при $f''_{xx} <0$ и минимум $f''_{xx} >0$ Так?

Заранее благодарна .

[ShMaxG]

Ну так есть общие достаточные условия присутствия и отсутствия экстремумов. Критерий Сильвестра вам о чем-нибудь говорит?

Достаточные условия строго экстремума:

Пусть функция $f$ "достаточно хороша". Пусть второй дифференциал функции в исследуемой точке является положительно определенной квадратичной формой. Тогда эта точка - точка строго минимума.

Положительная определенность определяется при помощи критерия Сильвестра:

Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры положительны. А не только определитель самой матрицы.

Все же, случай двух переменных совсем частный, по аналогии не распространишь...

[Mystery]

Спасибо ,большое. А главные миноры - это те которые вдоль главной диагонали так сказать беруться? т.е. у меня получилась диагональная матрица - на главной диагонали двойки, а остальные нули. Это значит положительно определенная?
Ну и вообще только три определителя нужно считать - 1-го, 2-го и третьего порядка вдоль главной диагонали, так?
совсем подзабыла уже

[ewert]

Mystery в сообщении #255205 писал(а):

, а вот достаточное так же звучит?

Во всех размерностях достаточное условие звучит совершенно одинаково: все собственные числа матрицы соотв. квадратичной формы должны быть ненулевыми и иметь одинаковый знак.

Это -- идейно. А дальше -- можно и Сильвестра, и кого угодно.

-- Пн окт 26, 2009 20:47:55 --

Mystery в сообщении #255228 писал(а):

А главные миноры - это те которые вдоль главной диагонали так сказать беруться?

Это так сказать -- левые верхние угловые миноры.

[ShMaxG]

http://www.pm298.ru/opred2.php

Только двойки на диагонали? Значит положительно определенная.

Да, все три определителя.

[Mystery]

Ой, какая прелесть! Спасибо вам огромное
и последний вопрос. Есть экстремум или нет выяснила. А теперь на мах - мин проверятеся знак второй производной $f_{xx}$? или что-то опять отличается?

-- Пн окт 26, 2009 20:55:09 --

а... или так... если положительные - то это минимум, а если все отрицательны - то это максимум.

[ShMaxG]

Достаточное условие наличия строгого максимума - первый минор отрицательный, второй - положительный, третий - отрицательный, и т.д. Чередование, т.е., начиная с отрицательного первого. Доказывается это напрямую, учитывая что $A$ отрицательно определена тогда и только тогда, когда $-A$ положительно определена.

[Mystery]

Спасибо!

[Someone]

ShMaxG в сообщении #255246 писал(а):

Достаточное условие наличия строгого минимума - первый минор отрицательный, второй - положительный, третий - отрицательный, и т.д. Чередование, т.е., начиная с отрицательного первого. Доказывается это напрямую, учитывая что $A$ отрицательно определена тогда и только тогда, когда $-A$ положительно определена.

По-моему, это условие строгого максимума. Согласно Вашему же сообщению http://dxdy.ru/post255212.html#p255212.

[bot]

Mystery в сообщении #255228 писал(а):

у меня получилась диагональная матрица

Ох уж этот формализм. Ну нафига какой-то критерий, если из знаков коэффициентов перед квадратами в $d^2u=\alpha dx^2+\beta dy^2+\gamma dz^2$ сразу ясно какой у Вас случай: определённость, положительная или отрицательная, полуопределённость или знакопеременность.
Ровно то же и из знаков собственных чисел - ведь второй дифференциал приводится ортогональной заменой к сумме квадратов с коэффициентами, а они и есть собственные числа. Можно без вычисления собственных чисел обойтись, что в случае 5 переменных и более может привести к неразрешимому в радикалах уравнению - привести квадратичную форму к сумме квадратов просто линейным (не ортогональным) преобразованием методом их последовательного выделения - называется методом Лагранжа.

Различные признаки (тот же критерий Сильвестра) придуманы в частности для того, чтобы в случае трудоёмкости указанных способов, эту трудоёмкость обойти. А теперь повторю, нафиг обходить очевидное, какую-то матрицу составлять, миноры считать?

А вот, к примеру, получится у Вас для функции трёх переменный в исследуемой точке $d^2u=dy^2+dz^2$, $d^2u=dy^2-dz^2$, ... или $d^2u=2dx^2+dy^2+dz^2+2dxdy+2dydz+2dzdx$ и что скажете, если воспользуетесь критерием Сильвестра?
Некоторые пишут что-то вроде - в этой точке неопределённый экстремум. Правильный ответ, если понимать это так, что автор ответа расписался в собственной беспомощности - ничего определённого сказать не смог.

[ewert]

bot в сообщении #255411 писал(а):

Некоторые пишут что-то вроде - в этой точке неопределённый экстремум. Правильный ответ, если понимать это так, что автор ответа расписался в собственной беспомощности - ничего определённого сказать не смог.

Понятие "неопределённый экстремум" не определено. А Сильвестр скажет, что он ничего насчёт экстремума сказать не может, и будет совершенно прав. Ибо наличие или отсутствие экстремума в данном случае определяется дальнейшими членами разложения.

[bot]

Ну не совсем так. Определённо да, что Сильвестр обламывается во всех трёх случаях. Однако во втором случае однозначно экстремума нет, в двух других нет максимума, а наличие или отсутствие минимума зависит от самой функции - пошевелить надо точку и следить за приращением функции, не обязательно с помощью членов высшего порядка. Если найти собственный вектор для нулевого собственного значения (что несложно), то шевелить точку надо уж точно не в его направлении (в их, если нуль - кратный корень), а там уж как повезёт - в учебных задачах обычно везёт.

[alekcey]

Да уж, на фоне проверки достаточности задача нахождения множества, где выполняется необходимое условие, выглядит заданием из начальной школы, притом по литературе …