найти меру

[Kartes]

Требуется найти меру множества
$\[ A = \left\{ {(x,y) \in R^2 :\,\sin x < \frac{1} {2},\,x + y \in R\backslash Q} \right\} \]$

[ewert]

Бесконечность, конечно. И кто такие задачи придумывает?...

[Kartes]

Хотелось бы услышать обоснованный ответ.
PS: Прошу прощение за наглость)

[ewert]

Просто потому, что множество $x+y\in\mathbb Q$ -- это счётный набор линий, каждая из которых имеет нулевую меру. Ну и их объединение -- соответственно.

[Kartes]

А почему счетный набор?

[ewert]

Потому что $\mathbb Q$ счётно.

[Kartes]

ewert в сообщении #254942 писал(а):

Потому что $\mathbb Q$ счётно.

Это бесспорно.
Мне кажется, что Вы рассматриваете только тот случай когда,
$\[ x \in Q,\,y \in Q \Rightarrow x + y \in Q \]$
а как быть когда
$\[ x = - y,\,x \notin Q,y \notin Q\, \]$,
но при этом
$\[ x + y = 0 \in Q \]$

[ewert]

Kartes в сообщении #254947 писал(а):

Мне кажется, что Вы рассматриваете только тот случай когда,

Вовсе нет. Для каждого $q\in\mathbb Q$ уравнение $x+y=q$ задаёт некую прямую, имеющую нулевую меру. А множество таких $q$ (т.е. таких прямых) -- счётно. Вот и всё.

[Kartes]

ewert в сообщении #254951 писал(а):

Kartes в сообщении #254947 писал(а):

Мне кажется, что Вы рассматриваете только тот случай когда,

Вовсе нет. Для каждого $q\in\mathbb Q$ уравнение $x+y=q$ задаёт некую прямую, имеющую нулевую меру. А множество таких $q$ (т.е. таких прямых) -- счётно. Вот и всё.

На самом деле не одну прямую, а семейство прямых. Их счетность - вопрос спорный, в силу того, что множество точек, через которые они проходят несчетно.

[ewert]

Kartes в сообщении #254975 писал(а):

На самом деле не одну прямую, а семейство прямых. Их счетность - вопрос спорный, в силу того, что множество точек, через которые они проходят несчетно.

Категорически неправильная логика. Для каждого $q$ получается ровно одна прямая. Совокупность же прямых вот ровно этим (счётным) набором $q$ и параметризуется.

[Kartes]

Хорошо, тогда поправте меня:
при
$\[ \begin{gathered} q = 1 \hfill \\ x = 0\,,y = 1 \hfill \\ x = 1,\,\,y = 0 \hfill \\ x = 2,\,y = - 1 \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered} \]$

[ewert]

Непонятно, что поправлять. Зачем этот бессмысленный перебор?... При $q=1$ получается некоторая прямая -- и точка. (В смысле прямая.)

[Kartes]

Этот перебор показывает, что для каждого $\[ q \in Q \]$ существует несчетное множество точек, "породивших" это $\[ q \]$

[Xaositect]

Kartes в сообщении #255008 писал(а):

Этот перебор показывает, что для каждого существует несчетное множество точек, "породивших" это

Да, и они все лежат на одной прямой, а мера прямой равна 0.

[Kartes]

Xaositect
ewert
Спасибо, дошло вроде-бы!