Вычислить сумму ряда

[daogiauvang]

$ \sum_{n=0}^{\infty}(2n^{2}+4n+3) x^{n+2} $

[ИСН]

Это скучно. Ну, будет какая-то комбинация $1\over 1-x$, $1\over (1-x)^2$ и $1\over (1-x)^3$. Коэффициенты возьмите в тумбочке.

[daogiauvang]

Почему скучно? Я не понял решение... Давайте подробности!

[ewert]

Чему равна, например, $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}2n(n-1)x^{n-2} $?...

И насколько $(2n^{2}+4n+3)$ отличается от $2n(n-1)$?...

[daogiauvang]

Исследовать сходимость рядов
$ \sum_{n=3}^{\infty}\frac{ (-1)^{n}}{n (\ln\ln n )\ln n} $

$ \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(3n-5)\ln^{2}(4n-7) } $

[ИСН]

Первый сходится (условно), потому что убывающий и знакопеременный; второй - по интегральному признаку.

[daogiauvang]

Спасибо большое! Я забыл признак интегральный... Задача первая я еще не понимаю... как связаны между суммой ряда и фукциями, которые Вы задали.

[ewert]

ИСН задал сумму чистой геометрической прогрессии, её первой и (более-менее) второй производной.

[bot]

ИСН в сообщении #254872 писал(а):

Первый сходится (условно),

Здесь точно условно, а не по крайней мере, потому что не абсолютно - тоже надо про интегральный вспомнить.

[ewert]

bot в сообщении #255095 писал(а):

Здесь точно условно,

Дык ИСН ровно так и сказал -- в точности (условно).

[daogiauvang]

Еще такая задача
Найти сумму рядов

$$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{n!} $$

где

$$x \in \left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

[RIP]

daogiauvang в сообщении #256003 писал(а):

Еще такая задача
Найти сумму рядов

$$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{n!} $$

где

$$x \in \left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

Кто Вам такую задачу дал? Учитывая, что у данной функции единичная окружность является естественной границей (т.е. все точки единичной окружности являются особыми), вряд ли ряд можно просуммировать "в замкнутой форме".

[bot]

ewert в сообщении #255204 писал(а):

Дык ИСН ровно так и сказал -- в точности (условно).

Дык я и не возражаю, а уточняю - подразумеваемый признак Лейбница гарантирует лишь "по крайней мере".