Аксиома подстановки (по Френкелю).

[Виктор Викторов]

Аксиома подстановки (по Френкелю).

Страница 111. Для любого множества $s$ и любой однозначной функции $f$ со свободной переменной $x$ существует вполне определённое множество, содержащее в точности те члены $f(x)$, для которых $x\in s$.
Страница 112. «...вместе с аксиомами параграфа 3 и VII она обеспечивает существование не просто бесконечных, а чрезвычайно широких <comprehensive> множеств.»
Аксиомы параграфа 3 — аксиомы пары, объединения, множества-степени, выделения. Аксиома VII — аксиома бесконечности.

Во-первых, хотелось бы пример (дан только пример, где недостаточно аксиомы бесконечности, но как тут применить аксиому подстановки?). Во-вторых, как аксиома подстановки содействует в получении «чрезвычайно широких множеств», ведь получаемые с её помощью множества не более « широкие» чем множество $s$?

[AGu]

Множество $f[s]:=\{f(x):x\in s\}$ не «шире» $s$, но по аксиоме объединения существует $\cup(f[s])$, которое уже может оказаться весьма «широким». В сноске 3 на стр. 112 есть намек на то, что аксиома подстановки в сочетании с аксиомами степени и объединения способна давать «широкие» множества переходом к «пределу». Я думаю, имелось в виду нечто вроде следующего. Положим, к примеру, $X_0:=\omega$ и $X_{n+1}:=X_n\cup\mathcal P(X_n)$. Эту рекурсивную конструкцию можно реализовать в виде такой формулы $\varphi(n,x)$, что для всякого $n\in\omega$ условие $\varphi(n,x)$ равносильно $x=X_n$. В результате мы получим «однозначную функцию» $f$ такую, что $f(n)=X_n$ для всех $n\in\omega$. Благодаря аксиоме подстановки существует множество $f[\omega]$, т.е. $\{X_n : n\in\omega\}$. Это довольно хиленькое множество (оно счетное), но у него весьма нехилое объединение: $\cup(f[\omega])=\bigcup_{n\in\omega}X_n$. Это и есть в некотором роде предел последовательности $X_n$ (полученный не без помощи аксиомы подстановки). Трансфинитно продолжая эту конструкцию, мы можем получать все более и более нехилые множества.

[Профессор Снэйп]

Виктор Викторов в сообщении #254452 писал(а):

Аксиома подстановки (по Френкелю).

Страница 111. Для любого множества $s$ и любой однозначной функции $f$ со свободной переменной $x$ существует вполне определённое множество, содержащее в точности те члены $f(x)$, для которых $x\in s$.

Я аксиому подстановки немного в другой формулировке знаю: для любого множества $s$ и формулы $\Phi(x,y)$, такой что для любого $x$ существует не более одного $y$ со свойством $\Phi(x,y)$, существует множество $\{ y : x \in s,\, \Phi(x,y) \}$. Не могу понять, это то же самое, что процитировал Виктор Викторов, или нет. Насколько корректно в формулировке аксиомы употреблять термин "функция"? Всё таки у функции есть множество значений, а тут мы это множество только образовываем... С другой стороны, существование не более одного $y$ --- свойство формулы $\Phi$, которое нуждается в формальном доказательстве из ZF(C), а если мы аксиому только формулируем, то сама ZF(C) ещё не сформулирована...

Не могу понять, то ли это действительно интересный вопрос, то ли после празднования дня рождения мозг глупеет

Что есть "ширина множества", я не понимаю.

Пример применения аксиомы подстановки: если дана последовательность, то существует множество членов этой последовательности.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #255298 писал(а):

Я аксиому подстановки немного в другой формулировке знаю: для любого множества $s$ и формулы $\Phi(x,y)$, такой что для любого $x$ существует не более одного $y$ со свойством $\Phi(x,y)$, существует множество $\{ y : x \in s,\, \Phi(x,y) \}$.

До формализма этой формулировке, конечно, далековато, но суть схвачена. Говоря более формально, «аксиома подстановки» — это схема аксиом: для каждой формулы $\varphi(x,y)$ вводится аксиома

$(\forall\,x,y,z)\bigl(\varphi(x,y)\land\varphi(x,z)\Rightarrow y=z\bigr)$ $\Rightarrow$ $(\forall\,X)(\exists\,Y)\bigl(\,Y=\bigl\{y:(\exists\,x\in X)\,\varphi(x,y)\bigr\}\,\bigr)$

Есть ослабленный вариант — с «существует ровно один» вместо «существует не более одного»:

$(\forall\,x)(\exists!\,y)\,\varphi(x,y)$ $\Rightarrow$ $(\forall\,X)(\exists\,Y)\bigl(\,Y=\bigl\{y:(\exists\,x\in X)\,\varphi(x,y)\bigr\}\,\bigr)$

но его, кажись, надо дополнять аксиомой существования пустого множества.

Профессор Снэйп в сообщении #255298 писал(а):

Не могу понять, это то же самое, что процитировал Виктор Викторов, или нет. Насколько корректно в формулировке аксиомы употреблять термин "функция"? Всё таки у функции есть множество значений, а тут мы это множество только образовываем...

Там имеется в виду этакая «формальная функция» (еще говорят «функциональный предикат»), т.е. термин «функция» употребляется не в обыденном смысле.

Профессор Снэйп в сообщении #255298 писал(а):

С другой стороны, существование не более одного $y$ --- свойство формулы $\Phi$, которое нуждается в формальном доказательстве из ZF(C), а если мы аксиому только формулируем, то сама ZF(C) ещё не сформулирована...

Не могу понять, то ли это действительно интересный вопрос, то ли после празднования дня рождения мозг глупеет

Похоже, вы славно там погуляли. Доказывать это «свойство формулы» не надо. Вы наверняка чувствуете разницу между формулой $\Phi\Rightarrow\Psi$ и метаутверждением «из ${\rm ZFC}\vdash\Phi$ следует ${\rm ZFC}\vdash\Psi$». Так вот, вторым тут не пахнет.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #255503 писал(а):

Доказывать это «свойство формулы» не надо. Вы наверняка чувствуете разницу между формулой $\Phi\Rightarrow\Psi$ и метаутверждением «из ${\rm ZFC}\vdash\Phi$ следует ${\rm ZFC}\vdash\Psi$». Так вот, вторым тут не пахнет.

Согласен. Разницу чувствую

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #255133 писал(а):

Это и есть в некотором роде предел последовательности $X_n$ (полученный не без помощи аксиомы подстановки). Трансфинитно продолжая эту конструкцию, мы можем получать все более и более нехилые множества.

Это, конечно, так и есть, но всё тоже самое можно проделать и с самим множеством $s$ и получить множество той же мощности без аксиомы подстановки. И ещё один вопрос: Френкель приводит в конце страницы 110 и начале страницы 111 пример, где не обойтись без аксиомы подстановки, но как её здесь применить? И более того как вообще реагирует в этом нехорошем случае ZF(C)?

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #255613 писал(а):

AGu в сообщении #255133 писал(а):

Это и есть в некотором роде предел последовательности $X_n$ (полученный не без помощи аксиомы подстановки). Трансфинитно продолжая эту конструкцию, мы можем получать все более и более нехилые множества.

Это, конечно, так и есть, но всё тоже самое можно проделать и с самим множеством $s$ и получить множество той же мощности без аксиомы подстановки.

А зачем нам множество той же мощности? Мы ведь стремимся к «обширным» множествам. Последовательно применяя аксиому степени к $\omega$, мы можем получать все более и более мощные множества $\mathcal P(\omega),\mathcal P\bigl(\mathcal P(\omega)\bigr),\dots$, но как осуществить трансфинитный шаг? Как получить множество мощности $\geqslant\aleph_\omega$?

Виктор Викторов в сообщении #255613 писал(а):

И ещё один вопрос: Френкель приводит в конце страницы 110 и начале страницы 111 пример, где не обойтись без аксиомы подстановки, но как её здесь применить?

Дык я ж, вроде, уже намекал: с помощью аксиом подстановки можно доказать существование $X:=\bigcup_{n\in\omega}X_n$. Все $\mathcal P(\omega),\mathcal P\bigl(\mathcal P(\omega)\bigr),\dots$ включаются в $X$, а значит, $|X|\geqslant\aleph_\omega$. Нужно что-то уточнить?

Виктор Викторов в сообщении #255613 писал(а):

И более того как вообще реагирует в этом нехорошем случае ZF(C)?

Не понял. О каком нехорошем случае идет речь?

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #255861 писал(а):

А зачем нам множество той же мощности? Мы ведь стремимся к «обширным» множествам. Последовательно применяя аксиому степени к $\omega$, мы можем получать все более и более мощные множества $\mathcal P(\omega),\mathcal P\bigl(\mathcal P(\omega)\bigr),\dots$, но как осуществить трансфинитный шаг? Как получить множество мощности $\geqslant\aleph_\omega$?

Я имел в виду, что можно получить множество той же мощности, которое Вы получаете с помощью аксиомы подстановки, без аксиомы подстановки. Где моя ошибка? Ведь вместо подстановки $\mathcal P(x)$ можно взять множество-степень.

AGu в сообщении #255861 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #255613 писал(а):

И ещё один вопрос: Френкель приводит в конце страницы 110 и начале страницы 111 пример, где не обойтись без аксиомы подстановки, но как её здесь применить?

Дык я ж, вроде, уже намекал: с помощью аксиом подстановки можно доказать существование $X:=\bigcup_{n\in\omega}X_n$. Все $\mathcal P(\omega),\mathcal P\bigl(\mathcal P(\omega)\bigr),\dots$ включаются в $X$, а значит, $|X|\geqslant\aleph_\omega$. Нужно что-то уточнить?

Вот именно тут у меня в голове дырка. Почему, перенеся разговор с помощью однозначной функции в другое множество, у нас хватает аксиом для получения более мощных множеств, а без аксиомы подстановки «наши предыдущие аксиомы недостаточно сильны, чтобы дать множество такой мощности»

AGu в сообщении #255861 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #255613 писал(а):

И более того как вообще реагирует в этом нехорошем случае ZF(C)?

Не понял. О каком нехорошем случае идет речь?

Не нарвёмся ли мы опять на антиномии?

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #255944 писал(а):

Я имел в виду, что можно получить множество той же мощности, которое Вы получаете с помощью аксиомы подстановки, без аксиомы подстановки. Где моя ошибка?

Если Вы изложите свою идею доказательства существования множества мощности $\geqslant\aleph_\omega$ без аксиомы подстановки, я попробую найти ошибку.

Виктор Викторов в сообщении #255944 писал(а):

Ведь вместо подстановки $\mathcal P(x)$ можно взять множество-степень.

При доказательстве существования множества $\{X_n:n\in\omega\}$ мы как бы подставляем $X_n$ вместо каждого $n\in\omega$. Как взятие степени может заменить такую подстановку, я не догадываюсь.

Виктор Викторов в сообщении #255944 писал(а):

Почему, перенеся разговор с помощью однозначной функции в другое множество, у нас хватает аксиом для получения более мощных множеств, а без аксиомы подстановки «наши предыдущие аксиомы недостаточно сильны, чтобы дать множество такой мощности»

Непосредственно в результате подстановки мы не можем получить более мощное множество, но у нового множества могут оказаться гораздо более мощные элементы, и тогда объединение нового множества будет гораздо более мощным, чем объединение исходного множества. Так и было в случае $\{X_n:n\in\omega\}$: элементы исходного (счетного) множества $\omega$ хиленькие (конечные), но подставив $X_n$ вместо каждого $n\in\omega$, мы получили (тоже счетное) множество $\{X_n:n\in\omega\}$ с гораздо более мощными элементами $X_n$. В результате объединение $\bigcup_{n\in\omega}X_n$ множества $\{X_n:n\in\omega\}$ оказалось гораздо мощнее объединения исходного множества $\omega$.

Виктор Викторов в сообщении #255944 писал(а):

Не нарвёмся ли мы опять на антиномии?

В связи с чем? Что именно Вы подозреваете в чреватости антиномиями?

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #255954 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #255944 писал(а):

Почему, перенеся разговор с помощью однозначной функции в другое множество, у нас хватает аксиом для получения более мощных множеств, а без аксиомы подстановки «наши предыдущие аксиомы недостаточно сильны, чтобы дать множество такой мощности»

Непосредственно в результате подстановки мы не можем получить более мощное множество, но у нового множества могут оказаться гораздо более мощные элементы, и тогда объединение нового множества будет гораздо более мощным, чем объединение исходного множества. Так и было в случае $\{X_n:n\in\omega\}$: элементы исходного (счетного) множества $\omega$ хиленькие (конечные), но подставив $X_n$ вместо каждого $n\in\omega$, мы получили (тоже счетное) множество $\{X_n:n\in\omega\}$ с гораздо более мощными элементами $X_n$. В результате объединение $\bigcup_{n\in\omega}X_n$ множества $\{X_n:n\in\omega\}$ оказалось гораздо мощнее объединения исходного множества $\omega$.

Вот в чём дело! Члены множества, получаемого при помощи аксиомы подстановки, большей мощности чем члены области определения (и, конечно, получены в соответствии с ZFC). А само множество может быть получено (в рамках ZFC) только с помощью аксиомы подстановки. И к нему может быть применена аксиома множества-суммы.

AGu в сообщении #255954 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #255944 писал(а):

Я имел в виду, что можно получить множество той же мощности, которое Вы получаете с помощью аксиомы подстановки, без аксиомы подстановки. Где моя ошибка?

Если Вы изложите свою идею доказательства существования множества мощности $\geqslant\aleph_\omega$ без аксиомы подстановки, я попробую найти ошибку.

Используем тот же пример, который приведён Френкелем в конце страницы 110 и начале страницы 111. Френкель пишет: «...мощность множества-суммы $A$ больше мощности любого члена $A$, (а следовательно, $\geqslant\aleph_\omega$), между тем как наши предыдущие аксиомы недостаточно сильны, чтобы дать множество такой мощности.»
А почему «недостаточно сильны»? Почему мощность множества-суммы должна быть (по каким аксиомам) не больше мощности любого члена суммы в этом случае? Почему нам в этом случае нужна аксиома подстановки? К сожалению, я не вижу противоречия на которое указывает Френкель.

AGu в сообщении #255954 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #255944 писал(а):

Не нарвёмся ли мы опять на антиномии?

В связи с чем? Что именно Вы подозреваете в чреватости антиномиями?

Поняв как «работает» аксиома подстановки, я перестал подозревать!

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #256396 писал(а):

Френкель пишет: «...мощность множества-суммы $A$ больше мощности любого члена $A$, а следовательно, $\geqslant\aleph_\omega$), между тем как наши предыдущие аксиомы недостаточно сильны, чтобы дать множество такой мощности.»
А почему «недостаточно сильны»?

Вероятно, потому, что без аксиомы подстановки нельзя определить множество $A$. Вы же сами пишете:

Виктор Викторов в сообщении #256396 писал(а):

А само множество может быть получено (в рамках ZFC) только с помощью аксиомы подстановки.

[Виктор Викторов]

Каждый член множества $A$ (за исключением первого) получается в обсуждаемом примере с помощью применения аксиомы множества-степени к предыдущему члену. Вы правы. Ведь мы можем получить только его члены, но не можем получить без аксиомы подстановки самого множества. Бес (на эту роль должен претендовать Френкель) меня попутал фразой о «такой мощности». А если всерьёз, то я не правильно понимал аксиому бесконечности, думая, что она гарантирует множество, где каждый член множества (за исключением первого) получается с помощью применения аксиомы множества-степени к предыдущему члену.

[Профессор Снэйп]

Виктор Викторов в сообщении #256443 писал(а):

А если всерьёз, то я не правильно понимал аксиому бесконечности, думая, что она гарантирует множество, где каждый член множества (за исключением первого) получается с помощью применения аксиомы множества-степени к предыдущему члену.

Хм... По моему, она гарантирует множество, где каждый член (кроме $\varnothing$) получается из другого при помощи конструкции $x \cup \{ x \}$. Это, надо заметить, совсем не то же самое, что $\mathcal{P}(x)$.

[Виктор Викторов]

Конечно. Это называется ложное понимание (misconception). И это ложное понимание хуже, чем незнание. Ведь неясно, что и где искать. Поэтому, всем спасибо за помощь.

[alex_dorin]

Пожалуйста, укажите пример применения Аксиома подстановки (по Френкелю) - когда получается множество большей мощности, чем у "исходного".
Из внешнего формального вида этой аксиомы такой результат мне не очевиден.
И, поскольку, речь идет об аксиоматическом подходе, можно побольше формализма.
Спасибо.

А. Дорин