Помогите решить предел

[Hitp]

$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {\cos x} - \sqrt[3]{{\cos x}}}} {{{{\sin }^2}x}}\] $
решать можно только через использование замечательного предела
я пытался решать через вынесение множителей и домножение на собряжённые, но пришёл в тупик ответ -1/12

[gris]

Домножьте числитель и знаменатель на выражение, которое "уничтожит" корни в числителе. Например, на сомножитель до разности шестых степеней.

[ewert]

Шестые степени не нужно. Интуитивно ясно, что это

$${\left(1-{1\over2}\left({1\over2}x^2\right)\right)-\left(1-{1\over3}\left({1\over2}x^2\right)\right)\over x^2}=-{1\over12}.$$

А поскольку переход к эквивалентным запрещён, то отсюда и понятно, как надо действовать -- прибавить и вычесть в числителе единичку, разбить на две дроби и разбираться с каждой по отдельности.

[gris]

А между тем была попытка умножить на сопряжённое выражение. То есть этому учили, только рассмотрели один случай - с разностью квадратов. Или учили, но...
Что плохого в шестых степенях? Ответ выползает на втором шаге.

[Hitp]

$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\sqrt {\cos x} - \sqrt {{{\cos }^{\frac{2} {3}}}x} )(\sqrt {\cos x} + \sqrt {{{\cos }^{\frac{2} {3}}}x} )}} {{{{\sin }^2}x(\sqrt {\cos x} + \sqrt {{{\cos }^{\frac{2} {3}}}x} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - {{\cos }^{\frac{2} {3}}}x(1 - {{\cos }^{\frac{1} {3}}})}} {{{{\cos }^{\frac{1} {3}}}x(1 + {{\cos }^{\frac{1} {6}}}x){{\sin }^2}x}}\] $
косинус сократится, но что делать дальше?

[gris]

Пусть $a=\sqrt{\cos x};\;\;b=\sqrt[3]{\cos x}$

$a^6-b^6=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$ последняя скобка, в пределе равная ... и есть сопряжённое выражение.

[ewert]

Hitp в сообщении #254343 писал(а):

косинус сократится,

Косинусы надо не сокращать, а заменять на единицу -- везде, где они не вычитаются из единицы (т.е. везде, где такая замена не даёт ноль). А дальше -- домножьте и разделите последнюю скобку в числителе на неполный квадрат суммы, до разности кубов.

[Hitp]

ewert, большое спасибо) всё получилось

[bot]

А почему было сразу не разбить предел на два однотипных путём добавления и вычитания единицы в числителе?

[ewert]

Бойан.

[GulfStreamm]

http://www.imageup.ru/img88/render2197745.gif.html
помогите пожалуйста решить))

[Виктор Викторов]

Домножьте на сопряжённые числителя и знаменателя (конечно, и числитель и знаменатель).

[GulfStreamm]

спасибо. получилось