Несложная задача на нахождение линейной плотности заряда.

[TheSanches]

Тонкий длинный стержень несет равномерно распределенный заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии 10см от ближайшего конца находится точечный заряд 40нКл, который взаимодействует со стержнем с силой 6мкН. Определить линейную плотность заряда на стержне.

Спасибо заранее. Задачу с определенной длинной проводника я решил, а тут он полубесконечный...а с интегрированием у меня проблемы..

[gris]

Будет несобственный интеграл. Если Вы решили задачу для конечного стержня, то найдите предел при устремлении длины к бесконечности.

[TheSanches]

У меня, при решении для конечной длины, получилось так:

Интегрируя это выражение в пределах от а до a+L, получаем

Где, a-расстояние до заряда, L-длина проводника.

Соответственно мне нужно в интеграле ставить верхний предел не a+L, а бесконечность, но вот что из этого получится при интегрировании? можете подсказать?

[ewert]

При интегрировании у Вас уже всё получилось. Теперь просто возьмите предел правой части при $l\to+\infty$.

[TheSanches]

Вот я и не могу взять предел, плохо у меня с ними....(

[gris]

Последнее равенство зачеркните. А с скобке $\left(\dfrac1a-\dfrac1{a+l}\right)$ только одно слагаемое зависит от $l$, и стремиться оно к 0.

[TheSanches]

спасибо...я посчитал, ответ конечный получился 1.66 нКл/м, в ответе к задаче стоит 2.5 нКл/м, но у меня ответ 2.5 получился для проводника длиной 20см, возможно что при прочих абсолютно равных условиях ответ будет одинаковый для полубесконечного и конечного?..или мой ответ в 1.66 ближе к правде?

[gris]

При увеличении длины проводника при неизменной плотности заряда сила будет увеличиваться. При переходе от 20 см к бесконечности как раз в 2/3 раза. Ответ в задачнике точно для бесконечности?

[ewert]

TheSanches в сообщении #254325 писал(а):

Вот я и не могу взять предел, плохо у меня с ними....(

Это плохо. Пределы -- это то, что следует понимать в первую очередь, а уж потом всякие формульные финтифлюшки типа производных, интегралов и т.д.

К сожалению, это и типично. Когда первокурсников дрессируют на вычисление пределов -- им обычно не объясняют, зачем это нужно, и для большинства это так и остаётся загадкой.

TheSanches в сообщении #254332 писал(а):

возможно что при прочих абсолютно равных условиях ответ будет одинаковый для полубесконечного и конечного?..

Естественно, невозможно. А цифирки я не проверял -- диэлектрическую проницаемость вакуума я не помню, и искать лень.

[TheSanches]

Ответ для бесконечности, но я не утверждаю что он верный, это делали на кафедре, в doc формате. Вопрос лишь в том, если 2.5 это ответ для !конечного! провода, то 1.66 для бесконечного выходит нормальный? Т.к. сила остается неизменной, выходит должна упасть линейная плотность?.. я туплю?

[ewert]

Во всяком случае, это -- правильная логика.

[gris]

Считается устно с точностью до порядка. Что $k=9E9$ я помню. Итак, 6 делим 4 и на 9. Получаем одну шестую или 1,6. Ну и порядок какой-то.
Да, если сила неизменна, то плотность уменьшается.
Вы не тупите. Вы острите.

[TheSanches]

Всем большое спасибо. Решение записано. =)