Гауссовость, мартингальность и независимые приращения.

[Taras]

Пускай $X_t$ -гауссовский процесс. Тогда, если $X_t$ -мартингал, то его приращения независимые. Это можна доказать используя характеристические функции, замечая то, что $cov[(X_t-X_s)\cdot X_s]=0, t>s$.
Справедливо это утверждение, если $X_t$ - суб-(супер-)мартингал?

-- Ср окт 21, 2009 22:19:24 --

Я подозреваю, что нет, так как тогда $X_t-X_s$ і $X_s$ будут положительно(отрицательно) коррелироваными.

[Хорхе]

Это не так, Тарас.
Подсказка: ковариации не поменяются, если добавить неслучайный снос.

[Taras]

Я написал 3 утверждения
Какое из них неверное?

[Хорхе]

Я писал про третье. Насчет первых двух, кажется невероятным, чтобы они были правильными.

[Taras]

Можно считать, что $E[X_t]=0$.
Посчитаем общую х.ф. $X_t-X_s, X_s$ - вектор гауссовский.
Тогда $\psi_{X_t-X_s,X_s}(u,v)=\exp{-0.5((u,v),\Lambda(u,v))}$,где $\Lambda$ -ков.матрица $X_t-X_s, X_s$.$u,v \in \mathbb{R}$
На главной диагонале стоят $Var[X_t-X_s],Var[X_s]$, а на побочной 0, потому что: $E[(X_t-X_s)\cdot X_s]=E[E[(X_t-X_s)\cdot X_s|\mathfrac{F_s}]]=0$ Получается,что х.ф. распадается в произведения 2 х.ф. $X_t-X_s$ и $ X_s$
где ошибка?

-- Ср окт 21, 2009 23:20:03 --

Цитата:

Я подозреваю, что нет, так как тогда $X_t-X_s$ і $X_s$ будут положительно(отрицательно) коррелироваными.

Хорхе в сообщении #253750 писал(а):

Это не так, Тарас.
Подсказка: ковариации не поменяются, если добавить неслучайный снос.

понял, ерунда, действительно.

[Хорхе]

Про мартингал, правда, конечно, я даже и не понял, что это вопрос.
Про суб- и супер- сомневаюсь.

[Taras]

гуд а то я уже испугался.
А контрпримерчик?

[Хорхе]

Стыдно, не прав, это правильно (если суб- или супермартингальное свойство рассматриваются относительно естественной сигма-алгебры). Тогда $\xi_t, E(\xi_t|\mathcal F_s)$ совместно гауссовские и $\xi_t - E(\xi_t|\mathcal F_s)\ge 0$ может быть лишь тогда, когда это постоянная.

С этого места, я думаю, Вы можете завершить сами.

[Taras]

Хорхе в сообщении #253768 писал(а):

Тогда $\xi_t, E(\xi_t|\mathcal F_s)$ совместно гауссовские и $\xi_t - E(\xi_t|\mathcal F_s)\ge 0$ может быть лишь тогда, когда это постоянная.

Нужно взять $\xi_t$ или $\xi_s$ ?

[Хорхе]

Йес.

[Taras]

Все стало ясно.
Спасибо, ГМ.