vbn писал(а):
публикуйте, конечно, интересно ведь

Спасибо за интерес.
+++++++++++++++++
Приглашение к исследованию
Нельзя не согласиться с Рустом, что проблема о бесконечности чисел Ферма посложнее ВТФ. Однако идея доказательства этого факта столь проста и увлекательна, что грех ее не рассмотреть – даже если она встретит на своем пути непреодолимое препятствие.
И потому приглашаю всех заинтересовавшихся темой лиц к активному участию в исследовании.
Итак, начинаю.
Рассмотрим последовательность чисел

. Допустим, что, начиная с некоторого

, все числа

являются составными.
В качестве основного инструмента исследования предлагается следующая лемма:
1°. Лемма 1. Каждое число

содержит такой простой сомножитель

, который либо не встречается ни в одном из предыдущих p, либо является сомножителем новой (очередной) степени сомножителя, уже встречавшегося в предыдущих

.
Весьма вероятно, что эта простая лемма хорошо известна в теории целых чисел, и я не стану на ней задерживаться. (Если я ошибаюсь, прошу поправить или хотя бы указать на ошибку.)
2°. И теперь, если составное число

содержит новый простой сомножитель

, то этот сомножитель будут содержать также числа

,

, и т.д.
2a°. Идея про запас: легко показать, что этот новый простой сомножитель

.
Но мы попробуем упростить расчеты и заведомо уменьшим значение

до

.
Допустим, что, начиная с некоторого

, все числа

являются составными.
3°. ИДЕЯ доказательства состоит в том, что, начиная УЧЕТ простых сомножителей ЛИШЬ с

и ЛИШЬ новых и ПРИ ЭТОМ заведомо заниженных по значению, мы для некоторого интервала
![$[k,s] $ $[k,s] $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/3/e03da244e73d57d3553dbe4e557e5c0582.png)
последовательности

получим такое произведение простых и заниженных по значению сомножителей чисел

, что оно может превысить произведение самих чисел

.
3°. Идея про запас: Возможно, удастся найти такое

(расположенное на пересечении огромного числа разных

), что произведение его простых и заниженных по значению сомножителей m превысит само число

.
На первый взгляд, идея кажется абсурдной: поначалу длинный ряд больших по значению

будет неимоверно занижен до значения

. Лишь позже на пересечении разных периодических последовательностей начнут проявляться – на месте первоначально отброшенных значений чисел

– произведения двух, затем трех сомножителей-троек. И т.д. А тем временем (отброшенные) члены последовательности

растут с колоссальным ускорением.
Но вот антиидея: достаточно долгое повторение сомножителя-тройки всего лишь первого элемента последовательности

производит такое количество сомножителей, что их произведение легко превысит некоторое заданное

.
Итак, нам предстоит ответить на вопрос: сможет ли хаотичная «троечная» (или усиленная – с помощью 2a° или иной подобной идеи) последовательность когда-нибудь опередить рост последовательности

?
Но прежде всего введем понятие эратосфеновой последовательности.
С помощью хорошо известного приема под названием так называемого эратосфенова решета можно получить сколь угодно длинную последовательность простых чисел. Однако с помощью логически противоположного приема можно поставить и ОБРАТНУЮ задачу: с помощью изначально заданной последовательности простых чисел (ПРООБРАЗА) создать (или восстановить), применяя метод «обратного решета» последовательность натуральных чисел (ОБРАЗА).
А теперь эту идею можно существенно расширить и усложнить: в качестве прообраза можно взять любую иную последовательность (например, чисел

), а «решетные» операции выполнять в ином порядке и по иному закону (например, с помощью чисел

).
Это будет выглядеть так.
Возьмем бесконечную ось, разбитую на равные отрезки метками.
На место первой метки поместим число-сомножитель

с

.
Далее это же число-сомножитель

помещаем на все места через каждые

.
После этих операций вторая метка останется не заполненной. На ее место помещаем число-сомножитель

.
Далее это же число-сомножитель

помещаем на все места через каждые

.
И т.д.
После выполнения этой работы на некотором отрезке оси все сомножители, накопившиеся в данной метке, перемножаются, а все произведения будут теперь составлять собою последовательность-ОБРАЗ.
Итак, вопрос: может ли рассказанный метод подсказать идею для доказательства теоремы о бесконечности чисел Ферма?
(Кстати, введенный мною математический объект «эратосфеновы последовательности» могут стать предметом небезынтересного исследования в теории чисел. Сам я на это не претендую.)
Продолжение следует