Интересная задача на сходимость ряда

[Ryabsky]

Попался вот такой вот интересный ряд:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\underbrace{\sin\sin...\sin x}_{n ~\text{штук}})^{\alpha}$$

Соответственно, исследовать на сходимость. ($x$ - просто число, насчет областей сходимости заморачиваться не надо).
Для $\alpha = 1$ расходится, оценка довольно проста: $\sin\sin...\sin x \ge \frac{\sin x}{n}$, доказывается методом мат. индукции.
Для $0 < \alpha < 1$ тем более расходится, что непосредственно следует из рассмотренного выше случая.
Для $\alpha \le 0$ расходится, т.к. общий член не стремится к нулю.
Подскажите, как быть с $\alpha>1$? Пытался на компе подобрать оценку сходящимся рядом, получилось, что начиная с $\alpha>3$ (и то - с запасом) уже справедлива оценка $(\sin\sin...\sin x)^{\alpha} < \frac{1}{n^2}$. Однако, понятное дело, это лишь эксперимент, а не доказательство.
Заранее спасибо!

[ИСН]

Короче, положим, итерированный синус имеет асимптотику $1\over n^\beta$. Приблизим синус (последний в цепочке, самый внешний) рядом Тейлора. Увидим, чему равно $\beta$. А теперь как-то всё это надо сделать строго и без "положим".

[RIP]

Ответ, конечно, зависит от $x$. В самом интересном Вам поможет тема topic24308.html