Числа Берри и Ришара на протяжении длительного времени рассматривались как
внематематические объекты,

поскольку для их определения обычно применялись некоторые чисто семантические понятия обычного языка не формализуемые в ZFC. Тем не менее можно построить некоторое паранепротиворе расширение ZFC в котором Числа Берри и Ришара существуют как формальные математические объекты.
http://settheory.boom.ru/PARADOXES.pdfhttp://bugs.planetmath.org/files/papers/307/LPP.pdf