Исследование ряда на сходимость

[milkwacko]

Всем добрый вечер.
Помогите исследовать ряд на сходимость:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \cos(\frac{1}{5 + (-1)^n})}{\ln^2 (n+1)}$$

К признакам Дирихле и Абеля оно никак не спихивается, найти сумму напрямую тоже не получается. Вообще, ряд судя по всему сходится условно (абсолютно он очевидно не сходится), ибо $\cos(\frac{1}{5 + (-1)^n})$ есть практически константа. Я пытался доказать сходимость по критерию Коши, но возникают сложности с оценкой.

[ewert]

Сгруппируйте попарно. Каждая пара слагаемых даст знакоопределённое выражение типа ${a\over\ln^2n}-{b\over\ln^2(n+1)}$, причём с разными $a$ и $b$. Т.е., собственно асимптотически -- типа константы, делённой на квадрат логарифма. Что, разумеется, даёт расходящийся ряд.

[milkwacko]

то есть сгруппировать попарно и оценивать снизу? если так, то здесь проблема - мы не знаем знак этой разницы, соответственно не знаем какой косинус как оценивать

[ewert]

milkwacko в сообщении #251734 писал(а):

здесь проблема - мы не знаем знак этой разницы,

Нет, мы её знаем. Константы "а" и "б" -- они фиксированы, это те ровно два значения косинусов. И фиксированно отличаются друг от дружки. В то время как знаменатели (квадраты соседних логарифмов) -- всё более и более относительно близки друг к другу. И, следовательно, знак (как минимум при достаточно больших номерах, чего и достаточно) -- вполне определён.

Ладно, я могу предложить малость по-другому. Гораздо вульгарнее, но, может, и более наглядно. Оцените отдельно сумму положительных слагаемых и сумму отрицательных через соотв. интегральные. Они асимптотически пропорциональны, но коэффициент пропорциональности не равен единице, и при этом уходят на бесконечность. Ч.т.д.

[milkwacko]

знак то конечно вполне определен. но оценивать это же критерием Коши, а там знак как раз будет зависеть от n. Т.е.:
$ \left| \frac{(-1)^{n+1} \cos(\frac{1}{5 + (-1)^{n+1}})}{\ln^2 (n+2)} + ... + \frac{(-1)^{n+p} \cos(\frac{1}{5 + (-1)^{n+p}})}{\ln^2 (n+p)} \right| = \left| \frac{\cos(\frac{1}{5 + (-1)^{n+1}})}{\ln^2 (n+2)} - \frac{\cos(\frac{1}{5 + (-1)^{n+2}})}{\ln^2(n+3)} + ... + \frac{(-1)^{p} \cos(\frac{1}{5 + (-1)^{n+p}})}{\ln^2 (n+p)} \right| \ge \left| \frac{\cos(1/4)}{\ln^2 (n+2)} - \frac{\cos(1/6)}{\ln^2(n+3)} + ... + \frac{\cos(1/4)}{\ln^2 (n+p-1)} - \frac{\cos(1/6)}{\ln^2 (n+p)} \right|$
(пусть р - четное).
Вы это имеете ввиду?

[ewert]

Нет, ничего подобного я и даже не думал иметь, всё гораздо тривиальнее. Перечитайте мою добивку в предыдущем сообщении -- может, вопросы и отпадут.

[milkwacko]

Кажется, я вас понял. Спасибо)

[ewert]

Да, кстати, даже не обязательно оценивать те две суммы как именно интегральные, это просто лично мне приятнее так рассуждать. Вполне достаточно того, что они попросту совпадают друг с дружкой с точностью до несущественных хвостиков.