Компланарность, векторы

[Bardo]

Помогите, пожалуйста, разобраться в типе задач. В математике очень слаб. Теорию учил, но это не помогает мне сообразить. Условие: задано некомпланарные a,b, c (все векторы).
Доказать, что:
$a+2b-c, 3a-b+c, -a+5b-3c$ компланарные.

Можно объяснить на похожем примере, а этот я сам дорешаю. Или, скажем, задачи с базисами. разложить по базису я могу. Но есть доп.условие - доказать, что e1, e2 - базис. Подскажите, пожалуйста, несложным языком.

[Shtirlic]

Вообще есть такое как смешанное произведение, но оно вроде только для ортогонального базиса. А здесь надо доказать, что один вектор нельзя выразить через другие два.

-- Чт окт 15, 2009 02:22:48 --

Точнее можно выразить.

[gris]

Если уж про базисы разговор, то три некомпланарных вектора образуют базис в пространстве, ими же образуемом. И в этом пространстве для других Ваших векторов уже заданы координаты. А как проверить условие компланарности через определитель?

[ewert]

Bardo в сообщении #251675 писал(а):

Доказать, что:
$a+2b-c, 3a-b+c, -a+5b-3c$ компланарные.

Компланарность -- это то же самое, что линейная зависимость. Т.е. доказать надо, собственно, следующее: найдутся такие ненулевые (в смысле не все нулевые) $x$, $y$ и $z$, что

$$x(\vec a+2\vec b-\vec c)+y(3\vec a-\vec b+\vec c)+z(-\vec a+5\vec b-3\vec c)=\vec 0.$$

Для этого достаточно собрать коэффициенты при $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$ и приравнять их к нулю -- получится система уравнений для неизвестных $x$, $y$, $z$. Вот и доказывайте, что у этой системы есть ненулевые решения.

----------------------------------------------------------------------------
(конечно, в условиях некомпланарности исходных $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ не только "достаточно", но и необходимо, однако в этой задаче это не нужно)