"Школьные" сомнения в напряженности...

[VladTK]

В теме "Гравитационные эффекты Земли и Солнца" я обратил внимание на сложность такого, казалось бы простого, понятия как напряженность поля.

Но для меня только этими сложностями дело не ограничивается. Рассмотрим НЕКАЛИБРОВОЧНОЕ векторное поле $A_{\mu}$ в пространстве-времени Минковского с метрикой $\eta_{\mu \nu}$. Выберем сферическую систему координат$(t,r,\theta,\phi)$ с естественной нумерацией координат от 1 до 4. Метрика будет иметь вид

$$ \eta_{\mu \nu} = \left ( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-r^2&0\\ 0&0&0&-r^2 \sin^2 \theta \end{array} \right ) $$

Выпишу необходимые далее ненулевые компоненты связности - символы Кристоффеля второго рода

$$ \Gamma^{3}_{23} = \Gamma^{4}_{24} = \frac{1}{r} $$

$$ \Gamma^{2}_{33} = -r $$

$$ \Gamma^{4}_{34} = \cot \theta $$

$$ \Gamma^{2}_{44} = -r \sin^2 \theta $$

$$ \Gamma^{3}_{44} = - \cos \theta \sin \theta $$

Рассмотрим статический сферически симметричный случай - компоненты векторного поля $A_{\mu}$ зависят только от радиус-вектора $r$ и равны (впрочем конкретный вид зависимости компонент от $r$ даже и не важен)

$$ A_{\mu} = \left ( \begin{array}{c} \frac{1}{r}\\ -\frac{1}{r}\\ \frac{1}{r^2}\\ -\frac{1}{r^2} \end{array} \right ) $$

Рассчитаем напряженности поля как ковариантные производные векторного потенциала

$$ D_{\mu} A_{\nu}= \partial_{\mu} A_{\nu} - \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu} A_{\lambda} $$

Поскольку связность зависит не только от радиус-вектора, но и от угла, то такую же зависимость получат и компоненты напряженостей, например

$$ D_{3} A_{4}= \partial_{3} A_{4} - \Gamma^{4}_{3 4} A_{4} $$

или

$$ D_{3} A_{4}= \partial_{3} A_{4} - \ctg \theta A_{4} = \frac{\ctg \theta}{r^2} $$

Получается странный результат - для изотропного векторного потенциала имеем неизотропную напряженность

Я думаю - это у меня "лыжи не едут" и профи просветят как все надо правильно делать.