Не само доказательство, но, похоже, нужные ссылки [7], [11], Вы найдёте в книге серии СМБ, Элементы теории функций действительного переменного, ФИзматгиз, 1963, стр. 118.
(Списал детали, да всё как подвисло-исчезло, второй раз писать сил пока нет. Но, если заходите подробнее, запрашивайте.

)