Течение жидкости в канале

[poisonous]

Собственно задача:
Два бассейна соединены каналом. Вода, первоначально находящаяся в покое, стремительно ускоряется приложенным в левом бассейне давлением $p_0$ при $x=0$. В то же время поддерживается нулевое давление в правом бассейне при $x=L$. Требуется определить закон изменения давления и скорости жидкости в канале в функции от времени. Предполагается, что стенки канала абсолютно гладкие и жесткие.

А вот дальше идет непонятно что. Откуда-то приводится такое расчетное уравнение: $\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 p}{\partial y^2}=\frac{1}{c^2}(k\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{\partial^2 p}{\partial t^2})$. Из каких соображений оно получено вообще неясно. Ну то есть понятно, что используются уравнения Навье-Стокса-Дюгема и уравнения неразрывности, но откуда берется вторая производная по времени в правой части?

Далее, хотелось бы решить эту задачу путем замены производных на конечные разности. Но тут возникает вопрос, какие поставить граничные условия, кроме давления на стыке канала и бассейна? И вообще это уравнение параболическое? Можно его решать на 5-точечном шаблоне?

Еще вопрос, можно ли это решить методом конечных элементов. Если да, то как его построить? Чего-то я совсем его идеологию не понимаю(((

[V.V.]

Написанное уравнение не параболическое, а гиперболическое.

Пяти точек в шаблоне явно не хватит, ибо есть и $t$, и $x$, и $y$. Минимум семь.

[poisonous]

Ой)
Я еще забыла написать, что для конечноразностного метода мы говорим, что по y давление не изменяется

А как же быть с граничными условиями?

[V.V.]

С граничными-то проблем нет:
$p|_{x=0}=p_0$, $p|_{x=L}=0$.
А вот начальных (если хотите решать начально-краевую задачу) не хватает. Хорошо бы знать $p|_{t=0}$ и $p_t|_{t=0}$.

[poisonous]

А эту задачу без начальных условий решить нельзя?

[V.V.]

А физический смысл у решения такой задачи будет?

[poisonous]

Видимо нет( А где же мне взять начальные условия? (
Я привела полную формулировку задачи...((((

[V.V.]

Наверное, надо использовать фразу "Вода, первоначально находящаяся в покое".
Возможно, из этого следует, что $p|_{t=0}=0$, $p_t|_{t=0}=0$.

[poisonous]

Спасибо!

[poisonous]

Что-то как-то странно получается... При таких начальных+граничных условиях в точке (0, 0) граничные условия с начальными не согласуются... Что там будет $p_0$ или 0?

[V.V.]

Да, согласования нет. Ну и что! Решаете стандартным методом разделения переменных имени Фурье, внутри всё сгладится.