Дифференцирование уравнения

[Randajad]

Добрый день!
В процессе чтения одной статьи встретилось не совсем понятное (ввиду небольших знаний по математике ) место:

Рассматривается уравнение $\varphi(\Gamma(t),t) = 0$ ($\Gamma(t)$ - поверхность ("surface" в статье)).
Далее уравнение дифференцируется по $t$ и получается следующее:
$\varphi_t + \frac{d\Gamma(t)}{dt} \cdot \nabla \varphi = 0 \Leftrightarrow \varphi_t + v_n|\nabla\varphi| = 0.$

Подскажите пожалуйста, откуда после дифференцирования возникает градиент? И ещё, как я понимаю, $\frac{d\Gamma(t)}{dt}$ это есть скорость изменения кривой, поэтому в записи вместо этого выражения пишется $v_n$. Но почему тогда ещё и модуль появляется?

Заранее спасибо.

[Бодигрим]

$t$ - это скаляр? Тогда в каком смысле $\Gamma(t)$ - поверхность? Больше похоже на просто кривую.

[Randajad]

Бодигрим, в источнике написано так: "Consider a closed surface $\Gamma(t)$ of co-dimension one in $\mathbb{R}^n$ moving with time."
То есть, насколько я понимаю, $\Gamma(t)$ может быть и кривой, и поверхностью (наверное можно сказать что это гиперповерхность?).

[Бодигрим]

А, понял. Я думал, что $\Gamma(t)$ - это некоторая параметризация кривой $\Gamma$ от координатной оси $t$. Слова "moving with time" все объясняют. Засим умолкаю, ибо не в курсе, как устроено дифференцирование в пространстве поверхностей $d\Gamma(t)/dt$.

[V.V.]

Randajad, надо читать исходную формулу как $\varphi(\Gamma_1(t),\Gamma_2(t),\ldots,\Gamma_n(t),t)=0$.

Функция $\varphi(x_1,x_2,\ldots,x_n,t)$ зависит от $n+1$ переменной

Теперь дифференцируем как сложную функцию:
$\frac{d\Gamma_1}{dt}\frac{\partial\varphi}{\partial x_1}+\frac{d\Gamma_2}{dt}\frac{\partial\varphi}{\partial x_2}+\ldots+\frac{d\Gamma_n}{dt}\frac{\partial\varphi}{\partial x_n}+\frac{\partial\varphi}{\partial t}$.
Вот и градиент, точнее $\frac{d\Gamma}{dt}\cdot\nabla\varphi$

[Randajad]

V.V., большое спасибо! Оказывается всё довольно просто, но про то, что скрыто под $\Gamma(t)$ я бы наверное не догадался