2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Исследовать ряд на сходимость
Сообщение06.10.2009, 21:54 


23/05/09
49
$$   \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{n^{\alpha}(2n)!!}$$

Удалось исследовать для положительных $\alpha$.
Рассматривая ряд из модулей, после преобразований, спихивая к признаку Гаусса, получаем, что ряд сходится абсолютно при $\alpha>\frac12$.
Из признака Дирихле видим, что ряд сходится условно при $0\le\alpha\le\frac12$.
Как быть с отрицательными $\alpha$? Если есть такие отрицательные $\alpha$, что для них ряд сходится, то возникает проблема с применением признаков, а именно - с монотонностью этого хозяйства (точнее, его модуля). Если таких нет, то не очень представляю, как оно доказывается...
// очень напрашивается наглое утверждение, что при отрицательных $\alpha$ общий член не стремится к нулю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение06.10.2009, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Хм, у меня следующее предложение: свести двойные факториалы к одинарным: $(2n)!!=2^n\cdot n!$ и $(2n-1)!!={(2n)!\over 2^n\cdot n!$ - и дальше использовать формулу Стирлинга? У меня получилось, что исходная сумма сводится к $\sum (-1)^n n^{-\alpha-1/2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение06.10.2009, 22:57 


23/05/09
49
утверждение конечно интересное, только пусть к Стирлингу лежит через гамма-функции... это у нас на данный момент читается, однако осмысление сего произойдет не очень скоро =)

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение06.10.2009, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Ну смотрите, Хорхе в одной из похожих тем применил один замечательный метод.
А именно, пишем
$\[\begin{gathered}
  \ln \frac{{{n^{ - \alpha }}\left( {2n - 1} \right)!!}}
{{\left( {2n} \right)!!}} =  - \alpha \ln n + \ln \left( {2n - 1} \right)!! - \ln \left( {2n} \right)!! =  \hfill \\
   =  - \alpha \ln n + \sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left[ {2i - 1} \right]}  - \sum\limits_{j = 1}^n {\ln \left[ {2j} \right]}  =  - \alpha \ln n + \sum\limits_{i = 1}^n {\ln 2i + \sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {1 - \frac{1}
{{2i}}} \right)} }  - \sum\limits_{j = 1}^n {\ln \left[ {2j} \right]}  =  \hfill \\
   =  - \alpha \ln n + \sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {1 - \frac{1}
{{2i}}} \right)}  \sim  - \alpha \ln n - \frac{1}
{2}\ln n \hfill \\ 
\end{gathered} \]$

Таким образом, $\[\frac{{{n^{ - \alpha }}\left( {2n - 1} \right)!!}}
{{\left( {2n} \right)!!}} \sim {n^{ - \alpha }} \cdot \frac{1}
{{\sqrt n }}\]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение06.10.2009, 23:39 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Действительно вы правы, что общий член не стремиться к нулю
$\frac{(2n-1)!!}{n^{\alpha}(2n!!)}>\frac{(2n+1)!!}{(2n!!)}>1$
Все выполняется начиная с некоторого номера и при $\alpha<-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение06.10.2009, 23:40 


02/07/08
322
К эквивалентностям можно переходить только для исследования абсолютной сходимой, для знакочередующегося ряда это лишено смысла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение06.10.2009, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Из того, что $\[\frac{{{n^{ - \alpha }}\left( {2n - 1} \right)!!}}
{{\left( {2n} \right)!!}} \sim {n^{ - \alpha }}\frac{1}
{{\sqrt n }}\]
$ прямо следует, что при $\[\alpha  \leqslant  - 1/2\]$ общий член ряда не стремится к нулю - стало быть ряд не сходится. Если же $\[\alpha  \in \left( { - 1/2;0} \right]\]$ ряд сходится по признаку Лейбница (причем не абсолютно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение06.10.2009, 23:58 


30/04/09
81
Нижний Новгород
для -1 можно нечто подобное сделать. Значит осталось рассмотреть интервал $(-1;0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.10.2009, 00:36 


23/05/09
49
Вопрос первый: для промежутка $\alpha \in \left(\frac12, 0\right]$ следует, что получив эквивалентность, мы докажем сходимость по Лейбницу? отсюда ведь явным образом не следует монотонность общего члена, чего вообще говоря требует Лейбниц.

И еще один нескромный вопрос... Как доказать эквивалентность $$\sum_{i=1}^n \ln\left(1+\frac1i\right) \sim \ln n$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.10.2009, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Сводится к тому же самому вопросу про гармонический ряд, а это уже, как говорится, боян.

-- Ср, 2009-10-07, 01:43 --

Отставить! Сложите все логарифмы и пораскрывайте скобки. И будет Вам
А.С.Пушкин писал(а):
Пустое "$\sim$" сердечным "$\equiv$"
Она обмолвясь заменила

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.10.2009, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
MTV
В признаке Лейбница используется монотонность не общего члена, а $\[{{a_n}}\]$, если дан ряд $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{{\left( { - 1} \right)}^n}{a_n}} \]$. А в нашем случае при достаточно больших $n:$ $\[{a_n} \sim {n^{ - \alpha }}\frac{1}{{\sqrt n }}\]$, убывающая при соответствующих $\[\alpha \]$ :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.10.2009, 19:08 


02/07/08
322
ShMaxG в сообщении #249644 писал(а):
Из того, что $\[\frac{{{n^{ - \alpha }}\left( {2n - 1} \right)!!}}
{{\left( {2n} \right)!!}} \sim {n^{ - \alpha }}\frac{1}
{{\sqrt n }}\]
$ прямо следует, что при $\[\alpha  \leqslant  - 1/2\]$ общий член ряда не стремится к нулю - стало быть ряд не сходится. Если же $\[\alpha  \in \left( { - 1/2;0} \right]\]$ ряд сходится по признаку Лейбница (причем не абсолютно).


Не следует. Если $a_n\sim b_n$ и ряд $(-1)^n a_n$ сходится, то про ряд $(-1)^n b_n$ ничего нельзя утверждать. Но если отдельно доказать, что $b_n$ убывает, то, действительно, тогда знакочередующийся ряд сходится, так как из сходимости $(-1)^n a_n$ следует, что $a_n = o(1)$, а из $a_n\sim b_n$ тогда следует, что и $b_n = o(1)$.
Однако пока доказательства монотонности я здесь не видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.10.2009, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Cave
Недочет насчет монотонности признаю.

Достаточно при достаточно больших $n$ проверить неравенство:

$\[\alpha \ln \frac{n}
{{n + 1}} + \ln \left( {1 - \frac{1}
{{2n + 2}}} \right) < 0\]$

И оно действительно имеет место тогда и только тогда, когда $\[\alpha  >  - \frac{1}{2}\]$. При необходимости могу предложить выкладки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение08.10.2009, 20:14 


23/05/09
49
выкладки не надо :) все получилось. спасибо большое!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group