Расширения Галуа, помогите с доказательством

[junior]

Добый вечер!

1) Если $P(\alpha)$ - расширение $P$ поля $P$, которое получается присоединением корня $\alpha$ неприводимого многочлена $h\in P[x]$, $\varphi$ - гомоморфизм поля $P$ в другое поле $F$. Тогда гомоморфизм $\varphi$ продолжается до гомоморфизма $\phi: P(\alpha )\to F$ ровно столькими способами, сколько есть различных корней в $F$ у многочлена $h^\varphi$, получающийся из многочлена $h$ применением к его коэффициентам гомоморфизма $\varphi$.

Решение: Если $P(\alpha)$ - расширение степени $m$, то любой элемент из $P(\alpha)$ записывается в виде $a_0+a_1\alpha+\ldots +a_m\alpha^m$, где $a_i\in P$. Если $\phi$ - продолжение $\varphi$, то $\phi(a_0+a_1\alpha +\ldots +a_m\alpha^m)=\varphi(a_0)+\varphi(a_1)\phi (\alpha )+\ldots +\varphi (a_m)\phi^m(\alpha )$ (мы обозначили $\beta=\phi(\alpha)$

Если применить вышеуказанную формулу к $h(\alpha)=0$, где $h$ - минимальный многочлен для $\alpha$, то получим $h^\varphi(\beta)=0$, отсюда имеем, что $\beta$ есть корни $h^\varphi$.
Но почему верно обратное?

2) Обозначим через $Aut_KL$ группу автоморфизмов поля $L$, сохранящих подполе $K$ на месте. Через $L^G$: $L^G:=\{a\in L: ga=a\ \forall g\in G\}$. Тогда $L^G=K$ тогда и только тогда, когда $|G|=n$. И если $L^G=K$, то для любых цепочек полей $K\subset P\subset Q\subset L$, любой гомоморфизм $\varphi:P\to L$ над $K$ продолжается до гомоморфизма $\phi: Q\to L$ ровнj $\dim_PQ$ способами.

Достаточность $|G|=n \Rightarrow\ L^G=K$ я доказал. Необходимость не получается

[maxal]

junior в сообщении #249588 писал(а):

Если применить вышеуказанную формулу к $h(\alpha)=0$, где $h$ - минимальный многочлен для $\alpha$, то получим $h^\varphi(\beta)=0$, отсюда имеем, что $\beta$ есть корни $h^\varphi$.
Но почему верно обратное?

$\phi$ полностью определяется формулой:
$\phi(a_0+a_1\alpha +\ldots +a_m\alpha^m)=\varphi(a_0)+\varphi(a_1)\beta + \ldots +\varphi (a_m)\beta^m.$
коль скоро определено значение $\phi(\alpha)=\beta$.
Вы совершенно верно заметили, что $\beta$ должно быть корнем $h^{\varphi}$ и, таким образом, различных $\phi$ столько же, сколько различных корней у многочлена $h^{\varphi}$.

Кстати, у вас вероятно описка - если степень расширение поля равна $m$, то элементы $P(\alpha)$ представляются многочленами степени $m-1$.

[junior]

Да, Вы правы. Произошла опечатка. Элементы поля $P(\alpha)$ представляются в виде многолчена от $\alpha$ степени $\le m-1$.