Доказать что последовательность сходится (90)

[ИС]

Доказать что монотонная последовательность сходиться, если сходится некоторая ее подпоследовательность.

Дайте подсказу пожалуйста. Не знаю с чего начать

[ewert]

В монотонном случае сходимость равносильна ограниченности. Докажите, что из ограниченности подпоследовательности следует ограниченность всей последовательности.

(от противного: предположим, что последовательность не ограничена; ...)

Впрочем, можно и в лоб -- на языке эпсилон-дельта. Введите в рассмотрение предел подпоследовательности и докажите, что он же будет и пределом всей последовательности.

[ИС]

ewert
спасибо. Доказал ограниченность, но не от противного...
Посмотрите пожалуйчта. похоже на правду?

Можете кратко написать доказательство от противного? а то я пока никак не соображу (

Мой вариант решения.
(1) Каждый элемент подпоследовательности $X_{n_k}$ начиная с какого-то номера больше элемента самой последовательности.

Доказательство (1) начало
По определению к-ый элемент последовательности меньше к+р -ого номера последовательности где к и р натуральные числа. Если из последовательности выкинуть какой-нибудь N-ый элемент, то получиться подпоследовательность $X_{n_k} $все элементы которой начиная с N-ого будут больше соответственных элементов в последовательности $X_n$, так как подпоследовательность будет выглядеть так $x^{1}_1 , ... , x^{N-1}_{N-1}, x^{N}_{N+1}, x^{N+2}_{N+2}, ....$
верхний индекс показывает под каким номером данный элемент входит в сходящуюся подпоследовательность, нижний - в последовательность.

(1.1)Допустим что при выкидывании Q элементов последовательности получаеться подпоследовательность P1 каждый элемент которой больше соответствующего элемента последовательности $x_n$. Докажем
(1.2) что из этого (1.1) следует что при выкидывание Q+1 элемента подпоследовательности P1 получаеться подпоследовательность P2, каждый элемент которой начиная с некоторого номера больше соответствующего элемента в последовательности $x_n$.

Очевидно что каждый элемент последовательности P2 больше соответствующиего элемента последовательности P1, откуда и следует (1.2)
Доказательство (1) конец.

из (1) и из того что подпоследовательность сходиться следует
что все элементы последовательности меньше верхней грани подпоследовательности. Следовательно последовательность ограничена.

Таким образом получаеться что последовательность ограничена сверху и монотонно возрастает, следовательно последовательность сходится.

[TOTAL]

Любой член последовательности находится между какими-то двумя членами подпоследовательности.
Запишите эти неравенства и перейдите в них к пределу.

[ewert]

ИС в сообщении #249199 писал(а):

(1) Каждый элемент подпоследовательности $X_{n_k} начиная с какого-то номера больше элемента самой последовательности.

Идея-то правильная, только сформулирована совершенно бессмысленно. Больше какого конкретно элемента-то?...

От противного -- можно так. Предположим, исходная последовательность не ограничена. Это значит, что для любого $M$ существует номер $n$, для которого $a_n>M$. Но поскольку (как Вы метко заметили) за любым членом исходной последовательности есть хоть один член подпоследовательности -- найдётся такое $k$, что $a_{n_k}>M$.

Т.е. по любому $M$ найдётся такое $k$, что $a_{n_k}>M$. Это означает неограниченность подпоследовательности -- а значит, и её расходимость. Что противоречит предположению о её сходимости. Ч.т.д.

[ИС]

ewert
спасибо большое за замечания и за доказательство от противного.
Вы мне очень помогли.

ewert в сообщении #249307 писал(а):

ИС в сообщении #249199 писал(а):

(1) Каждый элемент подпоследовательности $X_{n_k} начиная с какого-то номера больше элемента самой последовательности.

Идея-то правильная, только сформулирована совершенно бессмысленно. Больше какого конкретно элемента-то?...

Действительно...

Каждый i-ый элемент подпоследовательности $X_{n_k} $начиная с какого-то номера больше i-го элемента самой последовательности.

Кажеться что теперь верно написал.