Замкнутость суммы Минковского

[ShMaxG]

Сумма Минковского двух замкнутых множеств есть замкнутое множество?

Пусть $\[\left( {a + b} \right){|_k} \to c,k \to \infty \]$, где $\[a \in A,b \in B\]$. Не факт, что сходятся последовательности для каждого из слагаемых, в этом и встречаю проблему.

Вообще вопрос вылез из попытки доказать, что множество

$\[K = \left\{ {p \in {R^n}|p = \sum\limits_{i = 1}^l {{\mu _i}{a_i}} + \sum\limits_{j = 1}^m {{\lambda _j}{b_j}} ,{\mu _i} \in R,{\lambda _j} \in {R_ + }} \right\}\] $

Или, что то же самое,

$\[K = \left\{ {p \in {R^n}|p = A\mu + B\lambda ,\mu \in {R^l},\lambda \in R_ + ^m} \right\}\]$
замкнуто.
Из того, что линейная и коническая оболочки замкнуты следует ли, что их сумма замкнута?

[RIP]

ShMaxG в сообщении #248693 писал(а):

Сумма Минковского двух замкнутых множеств есть замкнутое множество?

Не всегда. Сложите гиперболу $xy=1$ с осью абсцисс.

[ShMaxG]

RIP
Понятно. Получится вся плоскость $R^2$ без оси абсцисс.
А как насчет чего-то применительно к оболочкам?

[RIP]

Да вроде бы это очевидно. Во-первых, сумма подпространства и конуса есть конус, например, потому что

$$\{A\mu+B\lambda\mid\mu\in\mathbb R^l,\lambda\in\mathbb R_+^m\}=\{A\mu_1-A\mu_2+B\lambda\mid\mu_{1,2}\in\mathbb R_+^l,\lambda\in\mathbb R_+^m\},$$

поэтому достаточно разобраться с конусом.

[ShMaxG]

Ну тут можно применить лемму Фаркаша, что этот конус является сопряженным к $\[ \left\{ {x \in {R^n}|{A^T}x = 0,{B^T}x \ge 0} \right\}\] $, а сопряженный к некоторому конусу конус всегда замкнут. Но лемма Фаркаша основывается на ряде других лемм, так что хотелось бы как-нибудь по-проще.
Думаю пока...

-- Сб окт 03, 2009 18:22:59 --

Ну кароче вот что я придумал.

Утверждение. Пусть $\[K = \left\{ {x \in {R^n}|{A_1}x = 0,{A_2}x \ge 0} \right\}\]$. Тогда $\[{K^*} = \left\{ {p \in {R^n}|p = A_1^T{y^1} + A_2^T{y^2},{y^1} \in {R^l},{y^2} \in R_ + ^m} \right\}\]$, где $\[{A_1} = R\left( {l,n} \right),{A_2} = R\left( {m,n} \right)\]$.

Доказательство.

Обозначим правую часть $K^{*}$ за $Q$.

а) $\[\xi \in Q \Rightarrow \left( {\xi ,x} \right) = \left( {A_1^T{y^1} + A_2^T{y^2},x} \right) = \left( {{y^2},{A_2}x} \right) \ge 0,\forall x \in K\]$. Таким образом, $\[Q \subset {K^*}\]$.

б) Пусть$ \[\xi \in {K^*}\]$, т.е. $\[\left( {\xi ,x} \right) \ge 0\]$ $\[\forall x \in K\] $. Условие $\[{A_2}x \ge 0\]$ можно переписать как $\[{A_2}x - Bx = 0\]$, где $B$ в общем случае зависит от $x$ и $\[Bx \ge 0\]$ $\[\forall x \in K\]$.

Тогда $\xi \in {\left( {\ker {A_1} \cap \ker \left( {{A_2} - B} \right)} \right)^ \bot } = {\left( {\ker {A_1}} \right)^ \bot } + {\left( {\ker \left( {{A_2} - B} \right)} \right)^ \bot }$. Т.е. $\xi \in \operatorname{Im} A_1^T + \operatorname{Im} {\left( {{A_2} - B} \right)^T}$.

Следовательно, $\[\xi = A_1^T{y^1} + A_2^T{y^2} - {B^T}{y^2},{y^1} \in {R^l},{y^2} \in {R^m}\]$. Т.е. $\[\xi = A_1^T{y^1} + A_2^T{y^2},{y^1} \in {R^l},{y^2} \in R_ + ^m\]$. Отсюда, $\[{K^*} \subset Q\]$.

Т.о. $\[{K^*} = Q\]$ и утверждение доказано.

Проверьте пожалуйста, все ли верно?

-- Сб окт 03, 2009 18:31:58 --

А, не, там $B$ не зависит от $x$.

[ShMaxG]

В общем, в книжке Васильева по численным методам нашел эту теоремку... Вопрос снят.