Элемен. математика: минимум функции

[srider0000]

Помогите, пожалуйста, решить задачу (или хотя бы подскажите решение):

Найти минимальное значение выражения, где $x$ и $y$ - действительные числа

$|2x - y - 1| + |x + y| + |y|$

[gris]

График функции состоит из кусков плоскостей, фактически это многогранник, бесконечный вверх. Минимум находится в одной из его вершин. Найдите вершины и сравните их "по высоте".

[srider0000]

А как найти вершины?

[gris]

Разбейте плоскость $X0Y$ прямыми

$2x-y-1=0$
$x+y=0$
$y=0$

на 7 частей и посмотрите, над какими точками пересекаются три или больше (на самом деле 4) грани многогранника.
Таких точек 3. В одной из них находится минимум функции.

[arqady]

srider0000 в сообщении #248539 писал(а):

Помогите, пожалуйста, решить задачу (или хотя бы подскажите решение):

Найти минимальное значение выражения, где $x$ и $y$ - действительные числа

$|2x - y - 1| + |x + y| + |y|$

gris в сообщении #248559 писал(а):

Разбейте плоскость $X0Y$ прямыми

$2x-y-1=0$
$x+y=0$
$y=0$

на 7 частей и посмотрите, над какими точками пересекаются три или больше (на самом деле 4) грани многогранника.
Таких точек 3. В одной из них находится минимум функции.

А если $x$ и $y$ - комплексные?

[vmg]

$|2x-y-1|+|x+y|\ge|3x-1|$,
$|2x-y-1|+|y|\ge|2x-1|$,
$|x+y|+|y|\ge|x|$. Сложим:
$|2x-y-1|+|x+y|+|y|\ge\frac12\cdot(|3x-1|+|2x-1|+|x|)$.
Минимум правой части достигается при $x=\frac13$ и равен $\frac13$.
Теперь минимум $|\frac13+y|+|\frac13+y|+|y|$
достигается при $y=-\frac13$ и равен $\frac13$.

[ewert]

arqady в сообщении #286318 писал(а):

А если $x$ и $y$ - комплексные?

Тогда ответ такой же, достаточно добавить одно заклинание. А в чём фишка-то?...

[gris]

решение, конечно, должно было быть без всяких плоскостей, как у vmg, ну у меня тогда в голове были задачи

вот по инерции и посоветовал

[ewert]

Решение, конечно, должно быть безо всяких плоскостей, но всё же не как у vmg, а как у gris. Плоскость делится линиями $2x-y-1=0$, $x+y=0$ и $y=0$ на несколько кусков, и ни одна точка, не являющаяся пересечением каких-либо из этих линий, не может быть экстремальной. Просто потому, что и на самих линиях, и на открытых участках между ними функция линейна.

[gris]

А как же тогда с комплексными переменными?

PSe Класс!!!!!!!!

[ewert]

А при комплексных переменных сумма модулей попросту заведомо больше, чем если оставить от этих переменных только их вещественные части.