Нормаль к кривой (главная)

[Alexey1]

Не совсем понятно, в чём разница между нормалью и главной нормалью к кривой. Например, пусть кривая описывается параметрическими уравнениями $c(t)=(t^2; \sqrt{t}; \ln(t))$. Правильно ли будет сказать, что направление главной нормали в точке $t_0$ совпадает с направлением вектора $(2t_0; \frac{1}{2\sqrt{t_0}}; \frac{1}{t_0})$? А разница между вектором главной нормали и вектором нормали в конкретной точке, например в $t_0$, будет заключаться в длинне этих векторов?

[ewert]

Alexey1 в сообщении #248351 писал(а):

Например, пусть кривая описывается параметрическими уравнениями $c(t)=(t^2; \sqrt{t}; \ln(t))$. Правильно ли будет сказать, что направление главной нормали в точке $t_0$ совпадает с направлением вектора $(2t_0; \frac{1}{2\sqrt{t_0}}; \frac{1}{t_0})$?

Это вообще не нормаль, а, наоборот, касательный вектор.

Alexey1 в сообщении #248351 писал(а):

А разница между вектором главной нормали и вектором нормали в конкретной точке, например в $t_0$, будет заключаться в длинне этих векторов?

Не в длине, а в направлении: "главная" -- это та нормаль, которая лежит в "соприкасающейся плоскости".

[Alexey1]

Да Вы правы, направление нормали будет $(2; -\frac{1}{4(t)^{3/2}}; -\frac{1}{t^2})$. Оно же направление и главной нормали так?

[ewert]

Alexey1 в сообщении #248357 писал(а):

Да Вы правы, направление нормали будет $(2; -\frac{1}{4(t)^{3/2}}; -\frac{1}{t^2})$. Оно же направление и главной нормали так?

Это -- одна из нормалей. Выбранная от балды, т.е. почти наверняка не главная.

Нормаль к соприкасающей плоскости определяется очень просто -- как векторное произведение $\vec {r\,}'\times{\vec r\,}''$. Для самой кривой это будет та из нормалей, которую называют "бинормалью". Главная нормаль перпендикулярна бинормали (и, естественно, касательному вектору); соответственно, считается через двойное векторное произведение $\vec {r\,}'\times[\vec {r\,}'\times\vec {r\,}'']$.

[Alexey1]

То есть перед построением главной нормали, мне необходимо построить бинормаль? У меня есть уравнение кривой, я знаю касательный вектор, что надо сделать, чтобы получить главную нормаль? Спасибо за объяснение.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #248469 писал(а):

я знаю касательный вектор, что надо сделать, чтобы получить главную нормаль?

Вы знаете касательный вектор и, следовательно, знаете нормальную плоскость. В ней "лежат" два независимых нормальных вектора -- в том смысле, что любой нормальный вектор является некоторой комбинацией двух каких-нибудь фиксированных и независимых (в смысле непараллельных; пардон, не люблю термин "коллинеарность" без необходимости). Из этого множества нормальных векторов выделяются параллельные друг другу "бинормали" -- это векторы, перпендикулярные не только касательному вектору, но ещё и второй производной радиус-вектора. Ну а главная нормаль -- это (единственная с точностью до знака и длины) нормаль, перпендикулярная к бинормали.

Основание для такого построения. Если (как частный случай) кривая плоская, то бинормаль будет перпендикулярна плоскости, в которой та кривая расположена. А главная нормаль -- лежать в этой плоскости. В общем же случае -- будет примерно так же, только речь пойдёт о плоскости, в некотором смысле "наилучшим образом" аппроксимирующей эту кривую в окрестности точки наблюдения.

[Утундрий]

пмсм, гораздо проще вычислить $\[\frac{{d^2 {\mathbf{r}}}}{{ds^2 }}\]$ ($s$ - натуральный параметр).

[Alexey1]

Напишу что я сделал. Уравнение касательной к кривой имеет вид $(t_0^2+2t_0(t-t_0);\sqrt{t_0}+\frac{1}{2\sqrt{t_0}}(t-t_0);\ln(t_0)+\frac{1}{t_0}(t-t_0))$. Этот ответ я получил после дифференцирования уравнения кривой по параметру, то есть $c'(t)$ и отсюда коэффициенты $c'(t) |_{t_0}$ для уравнения касательной.
Далее можно найти уравение одной из нормалей, то есть $(t_0^2+2(t-t_0);\sqrt{t_0}-\frac{1}{4t_0^{3/2}}(t-t_0);\ln(t_0)-\frac{1}{t_0^2}(t-t_0))$, то есть коэффициенты равны $c''(t)|_{t_0}$. Главной нормали пока нет. А вот как записать всю нормальную плоскость без вычисления бинормали?

-- Сб окт 03, 2009 05:37:04 --

Уравнение нормальной плоскости в точке $(t_0^2;\sqrt{t_0};\ln(t_0))=(x_0,y_0,z_0)$ есть $2t_0(x-x_0)+\frac{1}{2\sqrt{t_0}}(y-y_0)+\frac{1}{t_0^2}(z-z_0)=0$. Но вот как получить её в параметрическом виде?
Единичный касательный вектор есть
$T(t)=\frac{(2t;\frac{1}{2\sqrt{t}};\frac{1}{t})}{\sqrt{4t^2+\frac{1}{4t}+\frac{1}{t^2}}}$, то есть делим компоненты вектора $c'(t)$ на его длину. Затем вычисляем единичный вектор главной нормали как, $N=\frac{T'(t)}{\|T'(t)\|}$. И действительно, этот вектор отличается от вектора нормали $c''(t)$.
И тогда ещё вопрос, данная разница только из-за того, что делаем нормировку вектора $T(t)$, что после дифференцирования даёт другой вектор. Например, если длина $T(t)$ есть единица (например, этот вектор состоит из тригонометрических функций сумма которых равна единице), то $c''(t)$ будет иметь тоже направление, что и главная нормаль, верно?

[AKM]

Alexey1 в сообщении #248602 писал(а):

Далее можно найти уравение одной из нормалей, то есть $(t_0^2+2(t-t_0);\sqrt{t_0}-\frac{1}{4t_0^{3/2}}(t-t_0);\ln(t_0)-\frac{1}{t_0^2}(t-t_0))$, то есть коэффициенты равны $c''(t)|_{t_0}$. Главной нормали пока нет.

Я лишь сверился со справочником --- эта Ваша "одна из нормалей" и есть главная нормаль $\vec{n}$. Почему это её "пока нет"??
Остальной текст, пардон, недоанализировал.
Теперь, если $\vec{k}$ --- найденная касательная, то $\vec{b}=\vec{k}\times\vec{n}$ --- бинормаль. $\vec{n}/|n|$ и $\vec{b}/|b|$ --- два орта в нормальной плоскости, и параметризовать её можно так:

$$\vec{p}(u,v)=u\vec{n}+v\vec{b}\quad\mbox{либо}\quad \vec{p}(u,v)=u\frac{\vec{n}}{|n|}+v\frac{\vec{b}}{|b|}.$$

Если надо, распишите по координатам $X(u,v)=\ldots,\;Y(u,v)=\ldots,\;Z(u,v)=\ldots$.

[ewert]

AKM в сообщении #248641 писал(а):

Alexey1 в сообщении #248602 писал(а):

Далее можно найти уравение одной из нормалей, то есть $(t_0^2+2(t-t_0);\sqrt{t_0}-\frac{1}{4t_0^{3/2}}(t-t_0);\ln(t_0)-\frac{1}{t_0^2}(t-t_0))$, то есть коэффициенты равны $c''(t)|_{t_0}$. Главной нормали пока нет.

Я лишь сверился со справочником --- эта Ваша "одна из нормалей" и есть главная нормаль $\vec{n}$. Почему это её "пока нет"??

Потому, что это пока вообще не нормаль. Собственно, это -- вектор полного ускорения. Ну можно, конечно, получить отсюда главную нормаль, вычтя тангенциальное ускорение (т.е. проекцию второй производной на первую); это -- уже третий способ. Они все вычислительно примерно одинаково трудоёмки.

[Утундрий]

$$\[ {\mathbf{r}} = \left\{ {t^2 ,\sqrt t ,\ln t} \right\},{\mathbf{\dot r}} = \left\{ {2t,\frac{1} {{2\sqrt t }},\frac{1} {t}} \right\},{\mathbf{\ddot r}} = \left\{ {2, - \frac{1} {{4t\sqrt t }}, - \frac{1} {{t^2 }}} \right\} \]$$

$$\[ \dot s^2 = \left| {{\mathbf{\dot r}}} \right|^2 = 4t^2 + \frac{1} {{4t}} + \frac{1} {{t^2 }},\frac{d} {{dt}}\left( {\dot s^2 } \right) = 8t - \frac{1} {{4t^2 }} - \frac{2} {{t^3 }} \]$$

$$\[ {\mathbf{r'}} = \frac{{d{\mathbf{r}}}} {{ds}} = \frac{{{\mathbf{\dot r}}}} {{\dot s}},{\mathbf{r''}} = \frac{d} {{ds}}\left( {\frac{{{\mathbf{\dot r}}}} {{\dot s}}} \right) = \frac{1} {{\dot s}}\frac{d} {{dt}}\left( {\frac{{{\mathbf{\dot r}}}} {{\dot s}}} \right) = \frac{1} {{\dot s}}\left( {\frac{{{\mathbf{\ddot r}}}} {{\dot s}} - \frac{{{\mathbf{\dot r}}}} {{2\dot s^3 }}\frac{d} {{dt}}\left( {\dot s^2 } \right)} \right) \]$$

$$\[ \dot s^4 {\mathbf{r''}} = \dot s^2 {\mathbf{\ddot r}} - {\mathbf{\dot r}}\frac{1} {2}\frac{d} {{dt}}\left( {\dot s^2 } \right) = \left\{ {\frac{3} {{4t}} + \frac{4} {{t^2 }}, - 3\sqrt t + \frac{1} {{4t^3 \sqrt t }}, - 8 - \frac{1} {{8t^3 }}} \right\} \]$$

Остается нормировать полученный вектор...

[ewert]

Тогда это не второй, а уже четвёртый способ.

[Утундрий]

Это я к тому, что особой трудоемкости вычислений не обнаружил. Эх, умножай, да скобки раскрывай...

[ewert]

Хм.

$${\vec r\,}'\times{\vec r\,}''=\left|\begin{matrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ 2t&{1\over2\sqrt t}&{1\over t}\\2&-{1\over 4t\sqrt t}&-{1\over t^2}\end{matrix}\right|=\left({1\over4t^2\sqrt t}-{1\over2t^2\sqrt t},\ {2\over t}+{2t\over t^2},\ -{2t\over4t\sqrt t}-{2\over2\sqrt t}\right);$$

$${\vec r\,}'\times[{\vec r\,}'\times{\vec r\,}'']=\left|\begin{matrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\2t&{1\over 2\sqrt t}&{1\over t}\\ -{1\over4t^2\sqrt t&{4\over t}&-{3\over2\sqrt t}\end{matrix}\right|=\left(-{3\over4t}-{4\over t^2},\ 3\sqrt t-{1\over4t^3\sqrt t},\ 8+{1\over8t^3}\right);$$

Осталось только нормировать.

Эх, сиди себе да определители раскрывай...

-- Сб окт 03, 2009 15:35:17 --

Для сравнения -- оставшиеся два способа.


Способ 3.

Alexey1 в сообщении #248602 писал(а):

Единичный касательный вектор есть
$T(t)=\frac{(2t;\frac{1}{2\sqrt{t}};\frac{1}{t})}{\sqrt{4t^2+\frac{1}{4t}+\frac{1}{t^2}}}$, то есть делим компоненты вектора $c'(t)$ на его длину. Затем вычисляем единичный вектор главной нормали

Если не единичный, то:

$$N=\left(4t^2+\frac{1}{4t}+\frac{1}{t^2}\right)^{3\over2}\cdot T'(t)=\begin{pmatrix} 2\cdot\left(4t^2+\frac{1}{4t}+\frac{1}{t^2}\right)-t\cdot\left(8t-\frac{1}{4t^2}-\frac{2}{t^3}\right)\\ -{1\over4t\sqrt t}\cdot\left(4t^2+\frac{1}{4t}+\frac{1}{t^2}\right)-{1\over4\sqrt t}\cdot\left(8t-\frac{1}{4t^2}-\frac{2}{t^3}\right)\\ -{1\over t^2}\cdot\left(4t^2+\frac{1}{4t}+\frac{1}{t^2}\right)-{1\over2t}\cdot\left(8t-\frac{1}{4t^2}-\frac{2}{t^3}\right) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{3\over4t}+{4\over t^2}\\ -3\sqrt t+{1\over4t^3\sqrt t}\\ -8-{1\over8t^3}\end{pmatrix}$$

Способ 4.

$$\vec n={\vec r\,}''-{{\vec r\,}''\cdot{\vec r\,}'\over|{\vec r\,}'|^2}\cdot{\vec r\,}'= \begin{pmatrix}2\\-{1\over4t\sqrt t}\\-{1\over t^2}\end{pmatrix}\;-\; {2\cdot2t-{1\over4t\sqrt t}\cdot{1\over2\sqrt t}-{1\over t^2}\cdot{1\over t}\over 4t^2+{1\over4t}+{1\over t^2}}\cdot \begin{pmatrix}2t\\{1\over2\sqrt t}\\{1\over t}\end{pmatrix}=$$ $$={1\over 4t^2+{1\over4t}+{1\over t^2}}\cdot\begin{pmatrix} \left(8t^2+{1\over2t}+{2\over t^2}\right)-\left(8t^2-{1\over4t}-{2\over t^2}\right) \\ -\left(\sqrt t+{1\over16t^2\sqrt t}+{1\over4t^3\sqrt t}\right)-\left(2\sqrt t-{1\over16t^2\sqrt t}-{1\over2t^3\sqrt t}\right) \\ -\left(4+{1\over4t^3}+{1\over t^4}\right)-\left(4-{1\over8t^3t}-{1\over t^4}\right) \end{pmatrix} ={1\over 4t^2+{1\over4t}+{1\over t^2}}\cdot \begin{pmatrix}{3\over4t}+{4\over t^2}\\ -3\sqrt t+{1\over4t^3\sqrt t}\\ -8-{1\over8t^3}\end{pmatrix} $$

[arseniiv]

Простите, что влезаю. Вектор главной нормали ведь по совместительству ещё и вектор кривизны (когда естественный параметр)?

Кстати, как перейти от кривой $p = a(t)$ с "неестественным" параметром к $p = a_0 (t)$ с естественным? Мои способы оказались страшенными - через интеграл модуля производной к длине, а потом подстановкой функции, обратной длине от параметра, брррр.