Замкнутая кривая

[volchenok]

Существует ли какая-то теорема, критерий или свойство замкнутости кривой

[gris]

А какой класс кривых Вас интересует? Это компьютерная задача или из дифгема? Что-то связанное с параметризацией?

[Circiter]

2volchenok

Цитата:

Существует ли какая-то теорема, критерий или свойство замкнутости кривой

Ну если некоторая непрерывная кривая суть отображение $\varphi:\ [\alpha,\beta]\to \mathbb{R}^n$, то очевидно условие замкнутости есть $\varphi(\alpha)=\varphi(\beta)$. Хотя это даже не условие, это определение.

Ещё известно, что плоская простая замкнутая кривая делит плоскость на две непересекающиеся связные области, c.f. теоремы Жордана, Шенфлиса.

Что на счет именно критерия замкнутости, то можно упомянуть равенство нулю криволинейного интеграла второго рода по замкнутому контуру. Правда это работает вроде бы если интегрируете допустим по $dx$, а контур лежит в плоскости, перпендикулярной оси $Ox$ (для $\mathbb{R}^3$). Попробую ещё такой, более точный пример привести: если в $\mathbb{R}^2$ выполняется условие $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$ по некоторой области $\Omega$, то

$$\oint\limits_\mathcal{K} Pdx+Qdy\ =\ 0,$$

где $\mathcal{K}\in\Omega$ -- простая гладкая замкнутая кривая.

[AKM]

volchenok в сообщении #247937 писал(а):

Существует ли какая-то теорема, критерий или свойство замкнутости кривой

Если Вы обсуждаете плоские кривые, и если я правильно понял Ваш вопрос, то.

Критериев замкнутости, насколько мне известно, нет. Кроме тривиального --- интегрируя натуральное уравнение кривой, Вы, естественно, можете выяснить факт замкнутости.
Попытки найти достаточные условия замкнутости чисто из анализа функции $k(s)$ (кривизна, длина дуги) или первого её интеграла $\tau(s)$ для каких-то классов функций мне встречались, но я их не зафиксировал. Автор --- Ю.(А?) Аминов, в каких-то давних Трудах Стекловки.

Близкая тема --- теорема о четырёх вершинах замкнутой кривой (без самопересечений, иначе, как у лемнискаты, можно двумя обойтись).
Из неё можно сформулировать необходимое условие замкнутости в виде наличия не менее 4-х экстремумов у функции $k(s)$ с неотрицательное кривизной. Но оно какое-то слабенькое, неконструктивное, бесполезное, на мой взгляд.

Теореме в этом году исполняется 100 лет. Её также называют теоремой о 4-х вершинах овала, ибо первая версия охватывала только выпуклые кривые.

[terminator-II]

AKM в сообщении #248046 писал(а):

Если Вы обсуждаете плоские кривые, и если я правильно понял Ваш вопрос, то.

Критериев замкнутости, насколько мне известно, нет. Кроме тривиального --- интегрируя натуральное уравнение кривой, Вы, естественно, можете выяснить факт замкнутости.
Попытки найти достаточные условия замкнутости чисто из анализа функции $k(s)$ (кривизна, длина дуги) или первого её интеграла $\tau(s)$ для каких-то классов функций мне встречались, но я их не зафиксировал. Автор --- Ю.(А?) Аминов, в каких-то давних Трудах Стекловки.

странно в случае плоской кривой уравнения Френе явно интегрируются, там и необходимые и достаточные условия замкнутости в терминах кривизны получить -- не проблема. Помню курсовик у меня такой был

[AKM]

terminator-II в сообщении #248079 писал(а):

странно в случае плоской кривой уравнения Френе явно интегрируются, ...

Я об этом явно написал. Но факт, что ребят (почему-то) интересовали и другие критерии. Типа тривиального --- если кривизна монотонна ($\not\equiv\mathrm{const}$), то и интегрировать не надо, ясен пень, что незамкнута.

[volchenok]

В данном случае я рассматривая плоскую кривую, а сама задача из физики, где замкнутой кривой являются линии напряженности магнитного поля.Расскажите пожалуйста, как вывести из уравнений Френе этот критерий

[ИСН]

Тьфу!
Нашли математический вопрос, называется. Френе... Кто все эти люди? Линии замкнуты потому, что магнитных монополей у нас вокруг не дофига.

[volchenok]

Ну насколько я знаю поиски монополя еще продолжаются и издаются теории, предполагающие его существование.Но все же буду признателен тому, кто выведет этот критерий из уравнений Френе

[AKM]

volchenok в сообщении #248164 писал(а):

а сама задача из физики, где замкнутой кривой являются линии напряженности магнитного поля.

Не думаю, что в такого рода задачке у Вас естественно возникнут геометрические атрибуты типа кривизны $k$, натурального параметра $s$, полной длины кривой $L$. Скорее, у Вас уже получится готовое параметрическое уравнение $x(t),y(t)$, $t\in[0,T]\:\left\{?\:[0,2\pi]\right\}$, из которого (не)замкнутость и выведется.
Тем не менее, отвечаю на настойчивый вопрос:
пусть $\tau(s)=\int_0^s k(\bar{s})d\bar{s}$. Совпадение начальной и конечной точки даётся равенством

$$\int_0^L \mathrm{e}^{\mathrm{i}\tau(s)}\mathrm{d}s = 0,$$

а совпадение касательных в этой точке --- $\tau(L)-\tau(0)=2n\pi$. (См. любую книжку по дифф. геометрии).