Пороговая функция

[casL]

Булева функция называется пороговой если выражается в виде $ f(x_1...x_n)=[a_1x_1+...a_nx_n >= b] $ , где a_i и b - вещественные числа.
Пусть $ N(f) $ - колличество наборов $x_1..x_n$ на которых $f(x_1..x_n)=1$, а $E(f)$ - сумма таких наборов, интерпретируемых как векторы вещественных чисел. Доказать, что если N(f)=N(g) и E(f)=E(g), то $f=g$

[Sonic86]

Доказываем по индукции.
Для $n=1$ есть только 3 пороговые функции: у первой решений нет ($N(f)=0, S(f)=(0)$), у второй одно решение ($N(f)=1,S(f)=(x^*)$), у третьей два решения ($N(f)=2, S(f)=(1)$), так что для них утверждение верно.
Пусть теперь $f_n=g_n \Leftrightarrow N(f_n)=N(g_n), E(f_n)=E(g_n)$.
Рассмотрим функции $f_{n+1},g_{n+1}:f_{n+1}=g_{n+1}$.
Если $f_{n+1}=g_{n+1}$, то $E(f_{n+1})=E(g_{n+1}),N(f_{n+1})=N(g_{n+1})$.
Обратно, пусть $E(f_{n+1})=E(g_{n+1}),N(f_{n+1})=N(g_{n+1})$
$f_{n+1}=g_{n+1} \Leftrightarrow f_{n+1}(x_i,0)=g_{n+1}(x_i,0),f_{n+1}(x_i,1)=g_{n+1}(x_i,1)$. Эти функции обозначим $f_{n0},f_{n1},g_{n0},g_{n1}$. Они также являются пороговыми функциями, поэтому $f_{n0}=g_{n0},f_{n1}=g_{n1} \Leftrightarrow N(f_{n0})=N(g_{n0}),N(f_{n1})=N(g_{n1}),E(f_{n0})=E(g_{n0}),E(f_{n1})=E(g_{n1})$. То есть достаточно доказать эти 4 равенства для того, чтобы доказать, что булевы функции равны.
$E(f_{n+1})=(\sum\limits_{x_{n+1}=0} x_i^*;0)+(\sum\limits_{x_{n+1}=1} x_i^*;1)=E(f_{n0}) \times \{ 0 \} + E(f_{n1}) \times \{ N(f_{n1}) \} = E(g_{n0}) \times \{ 0 \} + E(g_{n1}) \times \{ N(g_{n1}) \} = E(g_{n+1})$.
Отсюда получаем, что $N(f_{n1})=N(g_{n1}),E(f_{n0})=E(g_{n0}),E(f_{n1})=E(g_{n1})$.
Далее
$N(f_{n+1})=N(f_{n+1}(x_i,0)=1)+N(f_{n+1}(x_i,1)=1)=N(f_{n0})+N(f_{n1})=N(g_{n0})+N(g_{n1})=N(g_{n+1})$
То есть $N(f_{n0})+N(f_{n1})=N(g_{n0})+N(g_{n1})$, а поскольку мы уже нашли $N(f_{n1})=N(g_{n1})$, то отсюда получаем $N(f_{n1})=N(g_{n1}), N(f_{n0})=N(g_{n0})$.
В итоге мы доказали все 4 равенства, так что $E(f_{n+1})=E(g_{n+1}), N(f_{n+1})=N(g_{n+1}) \Rightarrow f_{n+1}=g_{n+1}$.
Т. обр. из равносильности для $n$ следует равносильность для $n+1$, поэтому утверждение верно для всех $n$.
Правильно?
З.Ы. Кажется утверждение верно не только для пороговых булевых функций, но и для всех булевых функций. Как Вы думаете?