Квантовая механика, забытая еще в универе....

[Laser]

Добрый день всем.

Столкнулся я с неприятной проблемой: после четырех лет простоя вынужден вспоминать кванты, благополучно пройденные еще на четветом курсе. Кто может помочь разобраться в нотациях?

Фраза из ПхД-тезиса, в котором меня заставляют разобраться (прим.: тема - ЯМР. Раздел касается описания механизма методами квантовой механики):

Обычно гамильтониан предсатвляется системой ортогональных функций образованной различными произведениями спиновых функций

Таким образом базис будет составлен из произведений одноядерных волновых функций $|I,m>$, определенных следующим образом:
$I_{z(j)}|I_j,m_j>$ = $m_j|I_j,m_j>$
$I_j^2|I_j,m_j>$ = $I_j(I_j + 1)|I_j,m_j>$
$I_j^\pm|I_j,m_j>$ = $[(I_j\mp m_j)(I_j\pm m_j +1)]^{1/2}|I_j,m_j\pm 1>$

Базисная функция будет иметь форму:

$I_1,m_1> \otimes |I_2,m_2> ... \otimes |I_n,m_n> .$

Если все N частиц имеют спин 1/2, базис будет сформирован из $2^N$ спиновых функций. Мы упростим запись нотацией:

$|+>$ для $|1/2, 1/2>$
$|->$ для $|1/2, -1/2>$

$I_z|-> = -1/2 |->$
$I_z|+> = 1/2 |+>$

Нарпимер, если $N = 5$, то

$\phi_m = |++--+>$ обозначит $|+> \otimes |+> \otimes |-> \otimes |-> \otimes |+> $

Этот же кет можно переписать как $\alpha \alpha \beta \beta \alpha$



При всем том, что это я с горем пополам перевожу с французского, шансов разобраться у меня практически не остается...

Кто может помочь?

-- Пн сен 28, 2009 15:02:38 --

Говоря проще, уточню, что именно мне неясно:

1. Если внутри бра или кета записаны вектора через запятую, то что это может значить?
2. Альфы и беты, которые в самом конце - это уже существующие обозначения, или они только здесь вводятся? (прим: ранее нигде в тексте не встречались, в списке обозначений тоже нет. Но, может, это что-то стандартное?)
3. Там, где в строчку записано куча кетов, это что между ними - векторное произведение? Что мы должны получить в результате? Вектор из двух (трех) координат?

Вроде, это основное, что неясно...

Заранее благодарен всем откликнувшимся!

[AlexNew]

1)
там где под бра (кет) через запятую две величины - это скалярное произведение 2х векторов - наблюдаемых.
пример со спином - у вас есть 3х мерный вектор наблюдаймых vec S , (3 величины) вы записываете его проекцию на какое либо направление, при этом система может иметь всего два состояния вдоль любого направления, одно из этих 2х состояний запишится как |vec S vec n , +} , а второе как |vec S vec n , -}
2) нет
3) это тензорное произведение похоже, для описание систем из нескольких частиц.
В результате получите тензор с колличеством индексов = колличеству векторов в произведении

[Munin]

Laser в сообщении #247204 писал(а):

1. Если внутри бра или кета записаны вектора через запятую, то что это может значить?

У вас записаны через запятую квантовые числа. Видимо, I - проекция изоспина на изоспиновую ось z, а m - проекция орбитального момента на ось z. Пара I, m описывает состояние одной частицы.
Дальше у вас записаны без запятой многочастичные состояния - просто перечислены подряд состояния всех частиц.

Laser в сообщении #247204 писал(а):

3. Там, где в строчку записано куча кетов, это что между ними - векторное произведение? Что мы должны получить в результате? Вектор из двух (трех) координат?

В результате получается многочастичный вектор - вектор состояния многочастичной системы, в котором каждая отдельная i-я частица находится в состоянии, соответствующем i-му одночастичному вектору в произведении.

-- 28.09.2009 18:59:16 --

Laser в сообщении #247204 писал(а):

2. Альфы и беты, которые в самом конце - это уже существующие обозначения, или они только здесь вводятся? (прим: ранее нигде в тексте не встречались, в списке обозначений тоже нет. Но, может, это что-то стандартное?)

В квантовой механике не видел. С литературой по ЯМР не знаком.

[AlexNew]

Munin писал(а):

У вас записаны через запятую квантовые числа. Видимо, I - проекция изоспина на изоспиновую ось z, а m - проекция орбитального момента на ось z. Пара I, m описывает состояние одной частицы.

хмм, меня смутило то что в векторе величины I и m идут с одинаковым индексом, похоже на скалярное произведение, если так как у вас индексы должны быть разными...

[Munin]

Индекс - это номер частицы, а не координаты. Только самое первое приведённое соотношение загадочно, изоспин и орбитальный момент как операторы не должны иметь между собой никакой связи.

[Laser]

Вечер всем добрый, прошу прощение за молчание.

Спасибо за ваши ответы.

Спросил напрямую у автора монографии, что же это. Ответили, что в кетах - просто вектор, т.е. два параметра, описывающие состояние частицы, т.е. так, как написал Munin. При этом мне не полегчало. Ибо в поянениях значений указано, что I - это собственное значение оператора спина, а m - это "максимальное собственное значение среди всех I"

На мой встречный вопрос, что m получается всегда 1/2 для того, что мы здесь описываем (ЯМР протонов), ответ был, как в анекдоте, "уклончивый".

Есть ли идеи, какой в этом смысл?
Получается, что состояние описывается только одним параметром - I. Ибо второй - константа. Я прав?

По поводу $\otimes$ - это (спасибо AlexNew) и правда - тензорное произведение.

И еще такой возникший вопрос.
Допустим, у меня введен кет-вектор |a> = |0, -i>. Правильно ли я понимаю, что если у меня встречается запись типа <a|H|a>, то я должен подействовать на |a> гамильтонианом а потом множить на это все комплексно-сопряженный вектор, т.е. в данном случае - столбец <0, i| ? Или вектор останется без изменений?

Спасибо!

P.S. Простите, не нашел, как в ТЕХе записывать столбики.

[peregoudov]

Laser в сообщении #247204 писал(а):

Таким образом базис будет составлен из произведений одноядерных волновых функций $|I,m>$, определенных следующим образом:
$I_{z(j)}|I_j,m_j>$ = $m_j|I_j,m_j>$
$I_j^2|I_j,m_j>$ = $I_j(I_j + 1)|I_j,m_j>$
$I_j^\pm|I_j,m_j>$ = $[(I_j\mp m_j)(I_j\pm m_j +1)]^{1/2}|I_j,m_j\pm 1>$

Laser в сообщении #247204 писал(а):

1. Если внутри бра или кета записаны вектора через запятую, то что это может значить?

Тут небольшая путаница в обозначениях. $I_{z(j)}$, $I_j^2$, $I_j^\pm$ --- это на самомо деле операторы, а $I_j$ --- числа (через них выражаются собственные значения оператора $I_j^2$). Написанные соотношения --- стандартные соотношения для момента импульса, см., например, ЛЛ3, параграф 27, формулы (27,9), (27, 12). Что это за момент --- орбитальный (скорее всего) или какой другой --- нужно из контекста смотреть.

Laser в сообщении #247204 писал(а):

$\phi_m = |++--+>$ обозначит $|+> \otimes |+> \otimes |-> \otimes |-> \otimes |+> $

Этот же кет можно переписать как $\alpha \alpha \beta \beta \alpha$

Laser в сообщении #247204 писал(а):

2. Альфы и беты, которые в самом конце - это уже существующие обозначения, или они только здесь вводятся? (прим: ранее нигде в тексте не встречались, в списке обозначений тоже нет. Но, может, это что-то стандартное?)

Обозначения $\alpha$ и $\beta$ для состояний с проекцией спина $\pm1/2$ (то есть $|\pm\rangle$) я встречал в литературе по квантовой химии, например, МакВини, Сатклиф "Квантовая механика молекул" М.: Мир, 1972, формула (1.2.19). Думаю, это "стандартные обозначения в определенной области физики"

Laser в сообщении #247204 писал(а):

$|+> \otimes |+> \otimes |-> \otimes |-> \otimes |+> $

Laser в сообщении #247204 писал(а):

3. Там, где в строчку записано куча кетов, это что между ними - векторное произведение? Что мы должны получить в результате? Вектор из двух (трех) координат?

Это прямое (тензорное) произведение. В результате из одночастичных сомножителей получается многочастичная волновая функция. Смысл такой же, как в координатном представлении

$$ \psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\ldots\psi_n(x_n). $$

-- Вт сен 29, 2009 03:53:08 --

Похоже, ваш автор сам не шибко петрит в том, что написал

Laser в сообщении #247357 писал(а):

Ибо в поянениях значений указано, что I - это собственное значение оператора спина, а m - это "максимальное собственное значение среди всех I"

На самом деле $I(I+1)$ --- собственное значение оператора квадрата спина $I^2$, а $m$ --- собственное значение оператора $I_z$. $m$ не может превосходить $I$: $|m|\leq I$. Почитайте у Ландау, там все компактно описано.

Laser в сообщении #247357 писал(а):

Допустим, у меня введен кет-вектор |a> = |0, -i>. Правильно ли я понимаю, что если у меня встречается запись типа <a|H|a>, то я должен подействовать на |a> гамильтонианом а потом множить на это все комплексно-сопряженный вектор, т.е. в данном случае - столбец <0, i| ? Или вектор останется без изменений?

Про комплексное сопряжение вы правильно понимаете, боюсь только, что неправильно понимаете запись $|I,m\rangle$. $I$ и $m$ здесь --- это не компоненты вектора-столбца/строки, а параметры, от которых зависит волновая функция, см. ЛЛ3, параграф 28, формула (28,7).

[Munin]

Laser в сообщении #247357 писал(а):

Ибо в поянениях значений указано, что I - это собственное значение оператора спина, а m - это "максимальное собственное значение среди всех I"

Тогда надо писать "эль", а не "и большое". Эти операторы, разумеется, связаны, их теорию можно прочитать в ЛЛ-3 гл. 4 и гл. 8.

Laser в сообщении #247357 писал(а):

На мой встречный вопрос, что m получается всегда 1/2 для того, что мы здесь описываем (ЯМР протонов), ответ был, как в анекдоте, "уклончивый".

Нет, это $l$ всегда $1/2,$ а $m,$ соответственно, от $-1/2$ до $1/2,$ то есть ровно два значения. Вы их в первом сообщении и перечислили, там, где вводится нотация $\lvert\pm\rangle.$

Laser в сообщении #247357 писал(а):

Допустим, у меня введен кет-вектор |a> = |0, -i>. Правильно ли я понимаю, что если у меня встречается запись типа <a|H|a>, то я должен подействовать на |a> гамильтонианом а потом множить на это все комплексно-сопряженный вектор, т.е. в данном случае - столбец <0, i| ? Или вектор останется без изменений?

Обозначение остаётся без изменений, только вы вместо правой угловой скобочки рисуете левую. Когда доходит до вычислений, левые угловые скобочки превратятся в комплексные сопряжения и транспонирования, то есть замены векторов-столбцов на векторы-строки. Вообще, чтобы освоиться с бра-кет обозначениями, полезно почитать Фейнмановские лекции по физике тт. 8-9 - там вся квантовая механика именно в них рассказана. А в ЛЛ-3 они вводятся очень скудно, в конце § 11.

Laser в сообщении #247357 писал(а):

P.S. Простите, не нашел, как в ТЕХе записывать столбики.

Записываются так:
\left скобочка-слева-от-столбика \begin{array}{c} первый-элемент-столбика \\ второй-элемент-столбика \\ ... \\ последний-элемент-столбика \end{array} \right скобочка-справа-от-столбика
например, так:
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)
$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$
или так:
\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\x-y=0\end{array}\right.
$\left\{\begin{array}{l}x+2y=1\\x-y=0\end{array}\right.$