численные методы решения краевых задач

[sadomovalex]

добрый день, всем участникам форума. В книге Бахвалова Н.С. "Численные методы" наткнулся на непонятную вешь при описании численных методов решения краевых задач, а именно - метода стрельбы. Вот цитата:

Цитата:

Рассмотрим краевую задачу:

\[ \mathbf{y}'-A(x)\mathbf{y}=\mathbf{f}(x),\qquad B\mathbf{y}(0)=\mathbf{b},\qquad D\mathbf{y}(X)=\mathbf{d}\qquad (5.1)\]

здесь $\mathbf{y}$, $\mathbf{f}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{d}$ - векторы размерностей соответственно $l$, $l$, $l-r$, $r$, а $A$, $B$, $D$ - матрицы размерностей $l\times l$, $(l-r)\times l$, $r\times l$. Всюду в дальнейшем предполагается, что ранг матрицы $B$ равен $l-r$, а ранг матрицы $D$ равен $r$.
...
Простейшим по форме методом решения краевой задачи (5.1) является метод стрельбы. Рассмотрим систему уравнений

\[ B\mathbf{y}(0)=\mathbf{b}.\qquad (1)\]

Поскольку по предположению ранг матрицы $B$ равен $l-r$, то общее решение системы (1) записывается в виде:

\[ \mathbf{y}_0+\sum\limits_{j=1}^rc_j\mathbf{y}_j;\]

здесь $\mathbf{y}_0$ - произвольное решение неоднородной системы $B\mathbf{y}=\mathbf{b}$, а $\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_r$ - произвольная система $r$ линейно независимых решений системы $B\mathbf{y}=0.$

Вопрос по последнему предложению - почему общее решение системы (1) ищется в указанном виде? Ведь система (1) представляет собой систему алгебраических уравнений, а не диф. уравнений.. Откуда это утверждение? (может кто посоветует какую-нибудь литературу)

[sadomovalex]

сам спрашивал, сам отвечаю
пришлось повторить алгебру:

Цитата:

\[\left\{\begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots + a_{2n}x_n &= b_2\qquad(1)\\ ............................................. \\ a_{k1}x_1+a_{k2}x_2+\ldots + a_{kn}x_n &= b_k \end{aligned}\right.\]

Теорема. Общее решение приведенной однородной системы уравнений, соответствующее системе (1) образует в арифметическом пространстве $n$-мерных векторов подпространство размерности $n-r$, где $r$ - ранг матрицы системы. Любой базис этого пространства называется фундаментальным решением однородной системы.
...
Общее решение неоднородной системы получается прибавлением к каждому вектору общего решения приведенной системы какого либо частного решения неоднородной системы.

Чеботарь А.М. Лекции по линейной алгебре