Можно так доказать. Всё основано на наблюдении:
Если все корни многочлена

вещественны,

, то у многочлена

тоже все корни вещественны.
Итерируя, получаем:
Если у многочленов

и

все корни вещественны, то и у

.
Последовательно получаем многочлены, все корни которых вещественны:




