Единственность решения ДУ

[Alexey1]

Дано уравнение $yu_x-xu_y=0, u(x,0)=x^2$. Решением уравнения является $u(x,y)=x^2+y^2$. Характеристиками уравнения (линиями уровня решения) являются окружности и они пересекают ось $x$ (проекцию начальной кривой) два раза. Означает ли это, что решение не единственно? И что будет если добавить условие $y>0$?

[V.V.]

Уравнение решается в общем виде.

Составьте уравнение для характеристик, получите общий интеграл,...

[Alexey1]

Да я это уравнение уже решил, просто характеристики этого уравнения пересекают начальную кривую два раза, единственно ли решение?

[V.V.]

Характеристики находятся из системы $\dot{x}=y$, $\dot{y}=-x$, которая имеет первый интеграл $x^2+y^2=C$.

Следовательно, общее решение уравнения $u=f(x^2+y^2)$.

Имеем $u|_{y=0}=f(x^2)=x^2$. Как Вы думаете, много таких функций?