Дифференциальные уравнения (Филлипов А. В., задачник)

[carp]

V.V. в сообщении #248625 писал(а):

carp
1) Зачем написано $f(1,\frac{y}{x})$, не понимаю.

2) Именно поэтому. Производная $x$ по $x$ равна $1$.

Действительно, извиняюсь за невнимательность. Это производную функции надо расписывать, а от переменной - единица...

-- Сб окт 03, 2009 12:59:31 --

Не могу определить тип уравнения:
$\frac{dy}{dx}=\frac{x+2y-3}{2x-2}$;
на первый взляд однородное, но проверка не получается ...

[ewert]

carp в сообщении #248627 писал(а):

на первый взляд однородное, но проверка не получается ...

Сводится к однородному. Сделайте замену $x=t+\alpha$ и $y=u+\beta$, подобрав $\alpha,\ \beta$ так, чтобы константы в числителе и знаменателе сократились (фактически, конечно, $t=x-1$).

carp в сообщении #248624 писал(а):

Не совсем понятны следующие моменты:
1) Функция $f(1,\frac{y}{x})$ зависит от 1 и $\frac{y}{x}$. К чему указана зависимость от 1, если это константа ?

По формальным причинам. Функция $f$ называется однородной, если $f(x,y)\equiv f(1,\frac{y}{x})$ (одно из возможных определений). Но тогда писать просто $f(\frac{y}{x})$ нельзя -- это формально другая функция. Следовало написать "$g(\frac{y}{x})$, где $g(t)\equiv f(1,t)$".

[carp]

ewert в сообщении #248628 писал(а):

carp в сообщении #248627 писал(а):

на первый взляд однородное, но проверка не получается ...

Сводится к однородному. Сделайте замену $x=t+\alpha$ и $y=u+\beta$, подобрав $\alpha,\ \beta$ так, чтобы константы в числителе и знаменателе сократились (фактически, конечно, $t=x-1$).

Вроде решил, но сомневаюсь в корректности полученного ответа.
Посмотрите, как на Ваш взгляд:

$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y-3}{x-y-1};$
Делаем замену: $x=x_1+a; y=y_1+b;$
Получаем с учетом замены: $\frac{dy_1}{dx_1}=\frac{x_1+a+2y_1+2b-3}{2x_1+2a-2}$.
Учитывая: $a=1, b=1$ имеем: $\frac{dy_1}{dx_1}=\frac{x_1+2y_1}{2x_1}$
Полученное уравнение явно однородное и для дальнейшего решения произведем замену:
$\frac{y_1}{x_1}=u; y_1=ux_1; \frac{dy_1}{dx_1}=\frac{du}{dx}x+u;$
Получим: $\frac{du}{dx_1}x_1+u=\frac{x_1+2ux_1}{2x_1};$
Преобразовав получим: $\int du=\int\frac{dx_1}{2x_1}$
Проитегрировав: $u=\frac12ln|x_1|+C$
Далее делаем две замены: u на $\frac{y_1}{x_1}$ и $y_1=y+1; x_1=x+1;$

[ewert]

Правильно, только уравнение в первой строчке какое-то странное.

[carp]

ewert в сообщении #248653 писал(а):

Правильно, только уравнение в первой строчке какое-то странное.

Точно, немного не от туда переписал
Там, естественно, должно быть: $\frac{dy}{dx}=\frac{x+2y-3}{2x-2}$

[carp]

$(x+y)*y^{'}=x*arctg(\frac y x)$
Вот такое уравнение. Разделил на х, произвел замену y=ut, получил:

$\frac 1 {\frac {arctg(u)}{1+u}-u}*du=\frac {dx}{x}$

подскажите как интегрировать левую часть ?