Дисковая алгебра ( банаховы алгебры )

[id]

Начал читать "C*-алгебры и теорию операторов" Мерфи, наткнулся на стр. 13 на пример унитальной банаховой алгебры, вызывающий сомнения:

Цитата:

Множество $A$ функций, непрерывных на замкнутом единичном круге $\mathbb{D}$ комплексной плоскости и аналитичных внутри $\mathbb{D}$, является замкнутой подалгеброй в $C(\mathbb{D})$. Таким образом, $A$ - унитальная банахова алгебра.

Собственно... почему замкнутой? Следовательно, почему банаховой?

Норма равномерная.

[Хорхе]

Предел последовательности аналитических функций - аналитическая функция. (Например, можно использовать теорему Морера.)

[id]

Да, понятно ( почему-то помешала т. Стоуна-Вейрштрасса, забыл, что там функции на бикомпакте должны быть действительнозначны. Кстати, а есть какое-нибудь обобщение со значениям в произвольном (нормированном) поле? ).

Спасибо!