Не получается с производной.

[Legioner93]

Здравствуйте! Возникли затруднения с нахождением производной функции $y=2^{x^{2}}$
По правилу нахождения производной сложной функции:

$$u(x)=x^2; f(u)=2^u$$

$$f(u(x))'=f'(u)*u'(x)$$

$$(2^{x^2})'=2^{u}*ln{2}*2x=2x*ln{2}*2^{x^2}$$

Но с другой стороны:

$$2^{x^2}=(2^x)^x$$

$$u(x)=2^x; f(u)=u^x$$

$$f(u(x))'=f'(u)*u'(x)$$

$$((2^x)^x)'=u^x*ln(u)*2^x*ln{2}=2^{x^2}*2^{x}*x*ln^{2}{2}$$

Выражения явно не тождественны. Подскажите, где я ошибаюсь. Спасибо!

[Mathusic]

$$u(x)=2^x; f(u)=u^x$$

Здесь f(u) зависит и от x. То есть $u^x=f(u,x)$.

[Someone]

Legioner93 в сообщении #245692 писал(а):

Подскажите, где я ошибаюсь.

Вот здесь:

Legioner93 в сообщении #245692 писал(а):

$$2^{x^2}=(2^x)^x$$

$$u(x)=2^x; f(u)=u^x$$

$$f(u(x))'=f'(u)*u'(x)$$

$(2^x)^x$ нельзя записать как $f(u(x))$, где $u(x)=2^x$. Это функция двух переменных $u$ и $x$:
$(2^x)^x=f(u,x)=u^x$. Соответственно, для вычисления нужно использовать формулу полной производной:

$$\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{du}{dx}+\frac{\partial f}{\partial x}\text{.}$$

[Legioner93]

Ага, вроде понял, спасибо! А первый вариант ($2^{x^2}*ln{2}*2x$) - правильный?

[Someone]

Правильный.
Только в математике не принято использовать "звёздочки" вместо знаков умножения. Если знак умножения нужен, то используйте точку \cdot (получается $a\cdot b$) или \times (получается $a\times b$).

[Legioner93]

Спасибо, буду так делать.

[Henrylee]

Не проще было сначала прологарифмировать?