Гамильтоновы системы

[lt3km]

Привет, может, кто скажет примеры!

вот некие условия :

Симплектическое многообразие $M^4$, на нем заданна гамильтонова система $v=sgrad(H)$. Будем обозначать изоэнергитическая поверхность $Q=\{ x \in M^4 | H(x)=const \}$ Мне очень нужны примеры когда Q не компактно. Точнее наверно так. Есть не компактные Q


Буду очень рад любому примеру!

PS Если вы знаете второй интеграл, то укажите и его пожалуйста.

[V.V.]

lt3km писал(а):

Буду очень рад любому примеру!

А $H=p_1^2/2+p^2/2-x_1^2/2-x_2^2/2$ не подходит?

[lt3km]

Спасибо, за пример!
Как я понял имется ввиду кокасательное расслоение к плоскости.
Меня интересуют перестройки при переходе через критические значение бифуркационной диаграммы. Здесь вроде бы 2P->2P.

[lt3km]

вернее при немного изменном примере

$$ H=- \frac {p_1^2} {2} + \frac {p_2^2} {2} + \frac {q_1^2} {2} - \frac {q_2^2} {2} $$

[V.V.]

lt3km писал(а):

Меня интересуют перестройки при переходе через критические значение бифуркационной диаграммы. Здесь вроде бы 2P->2P.

А можно пояснить эти слова?
Тогда, возможно, и пример придумается.

[lt3km]

Хорошо!

Рассматриваем класс ботовских интегралов. У них есть особые точки двух типов в некомпактном случае. Меня сейчас пока интересует случай grad(f)(x)=0. Да интеграл ограничевыаем на неособую Q={H(x)=const}
Т.к. интеграл ботовский то критические точки организованны в подмногообразия. Интересны подмногообразия индекса 1 т.е. индекс функции бота на трансверсале т.е. просто коранк гессиана.
По теореме лиувилля совместные поверхности уровня, а в данном случае просто поверхности уровня f т.к. все ограничили на Q, представляют из себя в 2 мерном случае либо плоскости либо торы либо целиндры.
Вот эти поверхности по градиентному полу диффеоморфно передвигаются, но когда они проходят через критическое подмногообразие они перестраваются топологически. В случае grad(f)=0 есть в точности 12 перестроек.(Эту теорему можно найти в статье Галина Гужвина, но она там не даказанна а полное доказательство я ща и востановил в курсовой) Оно пренципиально не отличается от доказательства Фоменко А.Т. он рассматривал только случай Q -компактно. А здесь просто некий аналог его теоремы.
Ну так вот интерес как раз в том чтоб потвердить примерами жевыми эти перестройки. Мне удалось придумать(по мотивам ващего примера) Перестройки типов 2C->2C, 2P->2P. Так же известны из компактного случая 2T->T. Где T тор С целиндр P плоскость.
В этих случаях систем как выше интегралы разделились и не получается придмуать совместные перестройки например по теореме есть такие C+T->C, P+C->P, 2C->C. Вот на них примера у меня нету пока

[V.V.]

А что такое боттовский интеграл?

[lt3km]

Интеграл, который является функцией Ботта.
Ну например на трансверасли он явл. функцией Морса.
ИЛи так критические точки ораганизованны в подмногообразия, причем коранк постоянен на нем и совпадает с размерностью подмногообразия.