Доказательства свойств дюрации

[Heller]

Здравствуйте!

Во многих источниках (в каждом втором буквально) приводится такое утверждение: "Если инвестирование производится ровно на тот срок, какова дюрация портфеля, то риск процентной ставки отсутствует". Я много где встречал это, но нигде не могу найти доказательство. Максимум - ссылки на то, что, дескать, это чуть ли не очевидно. А вот мне не очевидно. (В общем даже есть подозрение, что такая формулировка вообще не верна).

Не подскажете доказательство? Желательно прямую ссылку. (Косвенных видел много - большинство ссылаются на Шарпа, но у него ничего не доказано).

[Шимпанзе]

Heller в сообщении #245394 писал(а):

Если инвестирование производится ровно на тот срок, какова дюрация портфеля, то риск процентной ставки отсутствует

Как я понимаю, дюрация есть средневзвешенный срок дисконтирования. Как же может быть , что время инвестиции в бумаги меньше средневзвешенного срока их дисконтирования?

[Heller]

Мы можем продать бумаги на открытом рынке в любой момент времени, при этом мы рискуем тем, что у них может измениться цена в результате изменения процентной ставки. Однако еще пока мы держим на руках бумаги, мы можем реинвестировать средства, которые получаем по купону. Таким образом получается ситуация, что при падении процентной ставки цена нашей бумаги растет, но в то же время и выплачиваемые купоны мы реинвестируем менее выгодно. При росте процентной ставки падает цена облигации, но и купоны реинвестируются под большую доходность.

Так вот утверждается, что если мы продадим свои бумаги ровно в тот срок, который нам показывает дюрация, то мы не рискуем за счет изменения процентной ставки: изменение стоимости облигаций в портфеле будет как раз уравновешено изменением в доходе от реинвестирования купона.

Встречалось мне такое утверждение очень много где. Часто это называют секьюритизацией (в этот термин таким образом мешают множество разных стратегий). Впервые я его повстречал в книге Фрэнка Фабоцци "Рынок облигаций" - с тех пор безрезультатно ищу доказательство (на само утверждение наталкивался и в других книгах, в частности в "Энциклопедии финансового риск-менеджмента" - причем везде это явно не случайные опечатки, так как приводятся численные примеры, которые тем не менее меня как математика не устраивают).

[bubu gaga]

Heller в сообщении #245766 писал(а):

Часто это называют секьюритизацией

Чаще это называется иммунизацией. Вывод "безопасности" этой стратегии например может (но не должен) основываться на предположении плоской структуры процентной ставки, которая может меняться количественно, но при этом должна оставаться плоской. Но даже в этом случае безопасность остаётся локальной и портфель не защищён против больших изменений процета.

По duration immunization посмотрите Frank M. Redington (1952) Review of the principles of life office valuation. По практическим проблемам Albrecht, Maurer (2008) Investment- und Risikomanagement (на немецком) стр. 469.

[Heller]

Благодарю. Статью "Review of the principles of life office valuation" нашел - буду читать. Хотя формул как-то мало, ну да надо смотреть.

Насчет терминологии, да, конечно иммунизации. Не знаю что меня попутало.

[Шимпанзе]

Heller в сообщении #245766 писал(а):

Так вот утверждается, что если мы продадим свои бумаги ровно в тот срок, который нам показывает дюрация

Теперь понятно, значит, не "на тот срок", а "в тот срок". Но если это так, то точного доказательства, видимо, не будет. Предпосылками верности данного утверждения, видимо , являются общие соображения. Дюрация, выражаясь языком геометрии, как бы местоположение центра тяжести всей фигуры. И ясно, что удерживая всю фигуру в этом центре, меньше шансов её свалить в ту или другую сторону с наименьшими потерями или выгодами. Однако ж не понятно какой смысл в получении небольших результатов? Причем с равной вероятностью в ту или другую сторону....

[age]

Heller
Да, все немного так и немного не так. Фраза "Если инвестирование производится ровно на тот срок, какова дюрация портфеля, то риск процентной ставки отсутствует" сказана в приближении, а не точно.

[Maslov]

А еще есть такое мнение: если мы покупаем бескупонную бумагу со сроком погашения (дюрацией) 1 год и доходностью 10% годовых, то через год наша бумага будет погашена, и мы получим свои 10% (т.е., есть риск непогашения, но риска процентных ставок нет).
Если же нам придется вытаскивать бумаги из портфеля, например, через пол-года, то может так сложиться, что процентные ставки к этому моменту возрастут, и цена бумаги, по которой мы сможем ее продать, будет меньше той, которая обеспечивает 10% годовых. В результате, вложив средства на пол-года, мы можем получить доходность меньше 10% (риск процентных ставок).
Такая же ситуация может возникнуть, если нам надо вложиться на 2 года, а бумага погашается через год. Это означает, что через год нам придется гасить старую бумагу и покупать новую. Может так сложиться, что ставки к тому времени упадут, и новая бумага не сможет обеспечить нам требуемую доходность (10%).

Ну а если бумаг в портфеле много, то переходим к средней дюрации по портфелю. При этом нечувствительность к риску процентных ставок становится приближенной (как правильно сказал age).