Достаточное условие глобального минимума

[ShMaxG]

Встретил такое утверждение:

Пусть $\[ D \subset R^n \] $ - произвольное множество, $\[ f:D \to R \] $ - непрерывная на $D$ функция, причем существует число $c$, для которого множество Лебега $\[ L_{f,D} \left( c \right) = \left\{ {x \in D|f\left( x \right) \leqslant c} \right\} \]$ функции $f$ непусто и компактно. Тогда задача $\[ f\left( x \right) \to \min ,x \in D \]$ имеет глобальное решение.

Говорят, что прямо (и очевидно) вытекает из теоремы Вейерштрасса.
Но в голову сразу приходит контрпример. Типа круг единичного радиуса на плоскости $(x,y)$ со значением функции равном 1. А на оси $y$ за кругом доопределим как $f=1/y$. Такое $c$ существует, равно 1, но глобального минимума нет!

[Cave]

Не понял контрпример. Во-первых, функция разрывна в точке (0; -1). Во-вторых, если считать, что мы распространяем функцию на положительный луч оси $OY$, то для неположительных $c$ множество будет пустым, а для неотрицательных будет содержать луч (часть луча $OY$) и, соответственно, не будет компактным. В частности, для $c = 1$ этим множество является объединение диска и луча.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #245336 писал(а):

Говорят, что прямо (и очевидно) вытекает из теоремы Вейерштрасса.

Правильно говорят. На пресловутом "множестве Лебега" существование минимума -- это непосредственный результат теоремы Вейерштрасса. А что будет за его пределами -- уже никому с точки зрения минимума не интересно.

[ShMaxG]

Мда, ошибся я маленько. И доказал, действительно, что это прямое следствие т. Вейерштрасса. Спасибо.