помогите решить тройной интеграл

[Vika19]

вычислить тройной интеграл с помощью цилиндрических или сферических координат
$\int \int \int\ xdxdydz
V
V:($x^2 + y^2 +z^2=8, x^2=y^2+z^2,x\ge\ 0$)

[citadeldimon]

Попробуйте нарисовать объем, по которому проходит интегрирование, и расставить границы интегрирования. Думаю "самым трудным" будет найти проекцию $V$ на плоскость $xOy$ .

[Heller]

Я не спец, но похоже на то, что у вас тут где-то ошибка. Описанная вами область - это между прочим линия в пространстве. Тройной интеграл от линий не берется. Так что либо область не так описана (вместо равенств - неравенства), либо интеграл не тройной, а криволинейный.

А если сферическая замена координат, то делается это очень просто:

$\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\varphi, \\ y=r\sin\theta\sin\varphi, \\ z=r\cos\theta. \end{cases}$

[Vika19]

я не могу понять как его делать

[Heller]

Ну как. Вместо x, y и z подставляем формулы, которые я привел. Вместо dxdydz соответственно дифференциалы по r, фи и ро, домноженные на якобиан (матрица, составленная из производных x, y и z по r, ро и фи). Область сама при этом тоже изменится. В вашем случае просто сама область некорректна, но если бы область была такой:

\{$V = {x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 8}$\}

то после замены область превратилась бы в
$V = \{r \in [0; 8], \rho \in [0, 2\pi], \varphi \in [0, 2\pi]\}$

[Vika19]

у меня получилось $\int_{0}^{\ {2} pi$cos$\varphi$d$\varphi$$\int_{0}^{\ {2}pi$sinpdp$\int_{0}^{\{8}$rdr
это правильно?

[Heller]

Не уверен, но я и не считал правда. Просто на вид не похоже. Якобиан преобразования от декартовых к сферическим координатам есть $r^2\sin \theta$, x заменяется на $r\sin \theta \cos \phi$. У вас что-то совсем не то. Но то есть под интегралом должно получиться нечто такое:

$r^3\sin^2 \theta \cos \phi$

Как-то так.

[ewert]

Vika19 в сообщении #245194 писал(а):

у меня получилось $\int_{0}^{\ {2} pi$cos$\varphi$d$\varphi$$\int_{0}^{\ {2}pi$sinpdp$\int_{0}^{\{8}$rdr
это правильно?

Неправильно. Якобиан -- никуда не годен, пределы -- взяты с потолка, "{8" -- загадка (правда, легко разгадываемая как очепятка), и самое главное -- по размерности не сходится. У Вас размерность объёма -- типа "rdr" (т.е. квадратные метры), в то время как должно быть как?... -- чудовищно.

А ситуация между тем проста. Ваша область -- это парашютик, ограниченный сферой и конусом. Причём угол полураствора конуса совершенно откровенно равен 45 градусам. Вот из этого и исходите, расставляя пределы в сферических координатах. Ничего, кроме аккуратности, тут не нужно.

[bot]

Heller, эта неаккуратность в постановке очень распространена, хотя устранить её труда не составляет - надо лишь вместо равенств писать неравенства. В зависимости от того, в какую сторону их направить, могут получиться разные задачи и некорректные в том числе.

ewert в сообщении #245274 писал(а):

Ваша область -- это парашютик, ограниченный сферой и конусом

А почему все должны видеть парашютик и не замечать равноправный корректный вариант - дополнение парашютика до полушара?

[ewert]

потому, что это очевидно. А для уважаемых зануд (коих я тщательно и всегда предусматриваю) следует делать оговорку $z>0$. И я всегда, из чувства уважения, подобную оговорку делаю (когда не зеваю, конечно), и в этой задачке она, разумеется, тоже подразумевалась.

[Heller]

Да ладно вам сразу "зануды". Когда это было две недели назад на семинаре - такие вещи помнишь. Когда последний раз с этим работал много лет назад - уже забывается. Остается в голове скорее то что пересечение двух поверхностей - кривая (чаще всего). Это не занудство. Сейчас да, сам вижу что имелось ввиду именно "область ограниченная кривыми", но первое впечатление - ошибка в постановке. (Хотя мы же тут вроде математикой занимаемся, а математика должна быть точна).

[bot]

Самые занудливые из математиков - это логики, следом за ними я бы поставил алгеброидов, к племени которых сам отношусь, но при чём здесь занудство?

Упростим ситуацию. Плоская фигура ограничивается двумя линиями. Если эти линии - две параболы, у меня нет претензий к составителю. Если же одна из линий окружность, а другая парабола или прямая, то я искренне не понимаю, почему я должен предпочесть одну из двух ограниченных областей.

[ewert]

bot в сообщении #245800 писал(а):

, то я искренне не понимаю, почему я должен предпочесть одну из двух ограниченных областей.

Правильно не понимаете. Это -- небрежность составителя.

А я вот (придётся покаяться) -- был неправ. В условии было честное указание на знак. Но я, читая по обыкновению по диагонали -- его не заметил.