вычислить предел!

[daogiauvang]

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^n}{(2n)!}=0$$

задача 2.

$$\lim\limits_{ n \to \infty} \frac{(2n)!}{a^{n!}}=0$$

[gris]

А формулой Стирлинга можно пользоваться?

[daogiauvang]

Я пытаюсь но ничего получилось!!! Конечно можно нууу как???

[gris]

Попробую

$$\lim\limmits_{n\to\infty} \frac {n^n}{(2n)!}=\lim \frac {n^n\cdot e^{2n}}{\sqrt{4\pi n}\cdot(2n)^{2n}}=\lim \frac {(ne^2)^n}{\sqrt{4\pi n}\cdot(4n^2)^n}=\lim \frac {(e^2)^n}{\sqrt{4\pi n}\cdot(4n)^n}=0$$

Не ошибся?

[daogiauvang]

Нет не ошибся!!! все правильно и четко! спасибо!
Еще последняя задача... наверное она труднее

[RIP]

Со Стирлингом тут явный перебор. В первом примере достаточно, например, рассмотреть отношение соседних членов последовательности и вспомнить определение числа $e$. Во втором примере тривиальной оценки $n!\le n^n$ с большим запасом хватает.

[Sasha2]

$\frac{(2n)!}{a^{n!}}=\frac{(2n)!}{(a^\frac{n!}{2n})^{2n}}=\frac{(2n)!}{(a^\frac{(n-1)!}{2})^{2n}}$

Далее из того, что среднее геометрическое не меньше среднего арифметического легко получаем, что
$(2n)!<(2n+1)^{2n}$ (не все из чисел от 1 до 2n равны друг другу).

Суммируя все, окончательно получаем
$\frac{(2n)!}{a^{n!}}<{(\frac{2n+1}{a^{\frac{(n-1)!}{2}}})}^{2n}$

Ну а дальше, уже наверно дело техники.

[Батороев]

Первую задачу можно решить даже логически:

$ \dfrac{n\cdot n \cdot n...\cdot n}{1\cdot 2 \cdot 3 ...\cdot n \cdot (n+1)\cdot ... \cdot 2n} < \dfrac {1}{1\cdot 2 \cdot 3 ... \cdot n} $,

т.к. $ n $ меньше любого из чисел $(n+1), (n+2), ...2n$, количество которых $n$.

[ewert]

daogiauvang в сообщении #244159 писал(а):

$$\lim\limits_{ n \to \infty} \frac{(2n)!}{a^{n!}}=0$$

Ну прям-таки. А если $a\leqslant1$?...

А почему это должно быть очевидным. Ясно, что $(2n)!\sim4^n(n!)^2$. Ясно также, что $a^{n!}=\left(b^{n!}\right)^3$, где $b=\sqrt[3]{a}$. И понятно, что в выражении ${4^n\over b^{n!}}\cdot {n!\over b^{n!}}\cdot {n!\over b^{n!}}$ каждая из дробей стремится к нулю.

Ну или оценить, действительно, отношение соседних членов.

[gris]

В первой задаче знаменатель уж явно растёт быстрее числителя, и очень хочется его приструнить.
А в вычислении предела $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+k)!}$
без Стирлинга не знаю, как определить, при каком наименьшем натуральном $k$ предел становится равным 0.

[ewert]

gris в сообщении #244340 писал(а):

А в вычислении предела $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+k)!}$
без Стирлинга не знаю, как определить, при каком наименьшем натуральном $k$ предел становится равным 0.

Без Стирлинга ясно, что ни при каком.

[gris]

Ой, я имел в виду, что k может зависеть от n . То есть

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n}{(2n-k)!}$$

без Стирлинга не знаю, как определить, при каком наибольшем натуральном $k$ предел остаётся равным 0.[/quote]

[Sasha2]

Нет, ну тут понятно, что модуль a>1. Если это не так, то ясно даже первокласснику, что предел равен бесконечности.

[ewert]

gris в сообщении #244348 писал(а):

Ой, я имел в виду, что k может зависеть от n . То есть

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n}{(2n-k)!}$$

без Стирлинга не знаю, как определить, при каком наибольшем натуральном $k$ предел остаётся равным 0.

Аналогично -- при любом $k$ ясно, что будет (на этот раз) ноль.

[gris]

ewert, я же уточнил, что $k(n)$. При $k=n$ уже всё наоборот.
Хорошо, путь будет

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n}{[an]!}$$

без Стирлинга не знаю, как определить, при каком наименьшем положительном $a$ предел станет равным 0.

PS Знаю, что наименьшего нет.