полунепрерывные функции (сверху). Бэровские теоремы

[Paata]

Пусть $X$ полное метрическое пространство, а функция $f$ полунепрерывна сверху на $X$ и не принимает значения $-\infty$. Тогда $f$ непрерывна в каждой точке множества $X-Y$, где $Y$ исключительное множество второй категории.

[RIP]

Только первой категории, а не второй. Можно так доказать.
Во-первых, можно считать, что $f$ ограничена снизу, потому что иначе достаточно рассмотреть $\exp(f)$.
При $\epsilon>0$ рассмотрим множество $A_\epsilon$ тех точек $x\in X$, для которых существуют последовательности $x_n'\to x$ и $x_n''\to x$, что $f(x_n')-f(x_n'')>\epsilon$. Достаточно доказать, что $A_\epsilon$ замкнуто (это очевидно) и с пустой внутренностью. Если $x\in\mathop{\mathrm{int}}(A_\epsilon)$, то для достаточно больших $n$ $x_n''$ тоже будет внутренней точкой $A_\epsilon$ и при этом будет выполнено $f(x_n'')<f(x)-\epsilon/2$; продолжив этот процесс, получим противоречие с ограниченностью снизу.