Линейная Алгебра

[ИС]

Может ли в матрице быть больше линейно независимых строк чем столбцов?

[Alexey1]

Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов.

[JollyRoger]

ИС в сообщении #243254 писал(а):

Может ли в матрице быть больше линейно независимых строк чем столбцов?

Нет, количество л.н.з. строк всегда равно количеству л.н.з. столбцов.

[ИС]

Разобрался. Ответ следует из теоремы о базисном миноре матрицы.

Помогите пожалуйста с доказательством теоремы.
Если С = АВ, то ранг мантрицы С не больше ранга мантрицы В и не больше ранга мантрицы А. Если при этом А - квадратная невырожденная матрица, то rang(C) = rang(B), а если В - квадратная невырожденная матрица, то rang(C) = rang(A).

Пока без идей =(

[bot]

А что такое ранг матрицы?
А не размерность ли это некоторого пространства, построенного "определённым образом" на её столбцах (или строках)?
А что с этим пространством произойдёт, если матрицу домножить на другую матрицу? На каких столбах или строках теперь будет строится соответствующее пространство и что станет с его размерностью?
Ну и, наконец, вопрос о ранге произведения в случае обратимости множителя уж вроде бы отсюда сразу будет очевиден.

[ИС]

А можно как-нибудь обойтись без пространств ) это понятие мне пока не знакомо ((((( Это упражнение стоит в самом конце главы Матрицы и определители... глава Линейные пространства следующая

[VAL]

ИС в сообщении #243363 писал(а):

А можно как-нибудь обойтись без пространств?

Можно. Достаточно отследить, как элементарные преобразования над строками первого (столбцами второго) сомножителя скажутся на произведении.

[ИС]

VAL
Расскажите пожалуйста по подробнее. Не доходит до меня

[ewert]

Боюсь, что это бессмысленно. То, что к-во линейно независимых строк всегда совпадает с к-вом линейно независимых столбцов -- факт довольно нетривиальный. Он становится достаточно очевидным лишь после того, как введено определение ранга через миноры. А до того -- это какая-то не нужная кустарщина.

[VAL]

ewert в сообщении #244070 писал(а):

Боюсь, что это бессмысленно. То, что к-во линейно независимых строк всегда совпадает с к-вом линейно независимых столбцов -- факт довольно нетривиальный. Он становится достаточно очевидным лишь после того, как введено определение ранга через миноры. А до того -- это какая-то не нужная кустарщина.

Что бессмысленно? Топикстартер пишет, что с эквивалентностью понятий "строчный ранг", "столбцовый ранг" и "ранг, как наивысший порядок отличных от нуля миноров" он уже разобрался. В этом случае приступать к рассмотрению теоремы о ранге произведения вполне уместно.

-- 17 сен 2009, 16:12 --

ИС в сообщении #244061 писал(а):

VAL
Расскажите пожалуйста по подробнее. Не доходит до меня

Надо показать, что элементарные преобразования над строками первого сомножителя приводят а таким же элементарным преобразованиям произведения.
Далее, с помощью элементарных преобразований над строками оставить в первом сомножителе всего r(A) ненулевых строк. Тогда r(AB) не превосходит r(A).
И т.д.

[ИС]

VAL
Спасибо большое! Разобрался