нильпотентные и полупростые алгебры (ассоциативные)

[Икром]

вопрос: Верна ли утверждение что в конечномерном случае, если ассоциативная алебра А не является нильпотентной по она полупроста.
более подробна:
Given an algebra, its radical is the (unique) nilpotent ideal that contains all nilpotent ideals in the algebra. A finite dimensional algebra is then said to be semi-simple if its radical is {0}, where 0 denotes the zero element of the algebra.
A algebra A is called simple if it has no proper ideals and A2 = {ab | a, b ∈ A} ≠ {0}. As the terminology suggests, simple algebras are semi-simple. Only possible ideals in a simple algebra are A and {0}. Thus if A is not nilpotent, then A is semisimple. Because A2 is an ideal of A and A is simple, A2 = A. By induction, An = A for every positive integer n, i.e. A is not nilpotent.

Заранее спасибо, всем!

[Eli]

Нильпотентные алгебры логически противоположны полупростым алгебрам:
для нильпотентных алгебр $A^k =0$ для некоторого k;
для полупростых алгебр $A^k=A$ для любых k.
Поэтому полупростая алгебра не может быть нильпотентной, а нильпотентная -- полупростой.

Далее. Согласно теореме Веддерберна любая ассоциативная алгебра однозначно разлагается в сумму
полупростой алгебры и максимального нильпотентного идеала.
Как несложно видеть, в общем случае такая сумма (составная алгебра) не будет ни нильпотентной, ни полупростой.

Т.е. отношение нильпотентность -- полупростота контрадикторное, но не контрарное
(грубо говоря, "белое -- черное", а не "белое -- не белое").

[Икром]

Извеняюсь я не понял что вы иеете в введу на конечном итоге?
Вопрос: если ассоциативная алебра А не является нильпотентной то она полупроста,. верно ли это утверждение?
Это веш я прочитал по ВИКИПЕДИЯ и думаю верна ли?
Мой вопрос заключатся в том что мы имеем таблицу умножение базисных элементов конечномерных ассоц. алгебр к примеру:
1. $e_{1} e_{3} =e_{2} ,$ $e_{3} e_{1} =e_{2}$
2. $e_{1} e_{1} =e_{1},$ $e_{2} e_{2} =e_{3}$
трехмерные ассоциативные алгебры. первая алгебра нильпотентна, а вторая нет.
(по моему она полупроста, по теореме Веддерб. полупростые это прямая сумма простых. вторая алгебра можно представить в виду прямой суммы двух алгеб одномерой $e_{1} e_{1} =e_{1},$ и двумерной $e_{2} e_{2} =e_{3}$).
В этих примерах более мене понятная ситуация. У меня есть список 3 и 4- мерных ассоциативных алгебр. Я должет определит какие из них нильпотентные какие простые( про простых тоже понятно), какие полупростые.
В итоге:
1. Если алгебра не нильпотентна (и не простая, то есть имеет какой то не тривиальный идел. Любой простая яв-ся полупростой но обратное неверно) могу ли сказат что это алгебра полупроста?
2. А ассоциативных алгебра сущ-ет ли понятия разрешымые алгебры. (как в случае алгебр Ли, нильп-ные алгебры содержатся а разр. алгебр)? То есть если алгебра не нильпотентна может и быт разрешимой?
Спасибо всем! Удачи!

[Eli]

Вы хотите разобраться или Вам нужен готовый ответ, без понимания?
Готовый ответ -- без меня, в все, что нужно для понимания, я написал выше.

Может быть, Вы не разобрались, что такое простые, полупростые и нильпотентные алгебры?
На этот случай напомню, что:
-- простая алгебра та, в которой нет идеалов (кроме тривальных -- нее самой и нуля);
-- существует несколько эквивалентных определений полупростоты,
самое ясное из них -- полупростая алгебра есть прямая сумма простых;
-- прямая сумма двух алгебр, это когда они умножаются и складываются "не замечая" друг друга,
т.е. если алгебра А является прямой суммой двух подалгебр X и Y,
то каждый ее элемент есть пара (x,y) и для двух элементов имеем:
$(x_1,~y_1)+(x_2,~y_2)=(x_1+x_2,~y_1+y_2); ~~(x_1,~y_1)\cdot (x_2,~y_2)=(x_1\cdot x_2,~y_1\cdot y_2)$.
Самый простой способ представить прямую сумму ассоциативных алгебр X и Y -- это матрица вида
$\left( \begin{array}{cc} X & 0 \\ 0 & Y \\ \end{array} \right)$ .
-- нильпотентные алгебры, это такие алгебры N, которые полностью обнуляются некоторой степенью k,
т.е. любой их элемент x в этой степени k равен нулю: $~\exists k:~~ \forall x\in N~~ x^k=0$.

Теперь дополнительный материал, которого достаточно, чтобы разобраться.

Возьмем самый элементарный пример. Двумерная алгебра A т.н. дуальных чисел.
Они отличаются от комплексных чисел тем, что в дуальных числах $\varepsilon^2=0$, а не $-1$.
Как всякая 2-мерная алгебра, она ассоциативна. Алгебру дуальных чисел A можно представить в виде таких матриц 2х2:
$\left( \begin{array}{cc} X & Z \\ 0 & X \\ \end{array} \right); ~~~ $ X и Z -- вещ. числа.
Любой элемент алгебры дуальных чисел представим в виде $a=x\cdot e_0 + z\cdot e_1$, где $e_0\equiv 1$ есть единица алгебры.
Таблица умножения алгебры очевидна: $e_0^2=e_0,~~e_0\cdot e_1=e_1\cdot e_0=e_1,~~ e_1^2=0$.
Таким образом, $e_1$ есть (максимальный) нильпотентный идеал этой алгебры (ее радикал).
В полном согласии с теоремой Веддерберна алгебра однозначно разлагается на сумму полупростой алгебры,
образованной единицей $e_0$ (в данном случае она даже простая)
и максимального нильпотентного идеала (радикала), образованного ортом $e_1$.

Теперь достаточно совсем немного подумать, чтобы ответить на простые вопросы:
-- нильпотентна ли сама алгебра А?
-- полупроста ли алгебра А? (а также, проста ли она?)

После этого сами ответьте на свой вопрос:
верно ли, что если ассоциативная алгебра А не является нильпотентной, то она полупроста?

[Икром]

Спасибо Eli!
Ваш пример не нильпотентная и не полупростая алгебра. Точнее она является полупрямой суммой радикала и пнлупрстой (здесь простой) подалгебры.
Как это я не смог догадатся ранше, удевительно!
thanks so much, good luck!

[Eli]

Very well