задача по теории делимости!

[maxmatem]

надо док-ть что выражение делится на 19
(5^(2n+1))+(3^(n+2))*(2^(n-1))

извините, что в такой форме записи, по-другому пока не умею.
япробывал по индукции, но это не привело к успеху, как можно по-другому док-ть?

-- Чт сен 10, 2009 21:02:48 --

если нетрудно запишите кто-нибудь это в нормальном виде, я просто поке это не освоил!

[gris]

$$ 5^{2n+1}+3^{n+2}\cdot 2^{n-1}$$

[maxmatem]

спасибо огромное! но как доказать-то!
просто наметьте ход док-ва!

[jetyb]

Используя сравнения по модулю 19, приведите выражение к виду линейной комбинации чисел в степени $n-1$.

[maxmatem]

а по проще, более в лоб можно док-ть ?

[jetyb]

У меня решение заняло три строчки.

[gris]

19=25-6

[maxmatem]

но я пытался по индукции док-ть, но не получилось! может подругому, как такого рлода задачи вообще решаются, алгоритм решения какой?

[jetyb]

$(19a+b)^n\equiv b^n(mod\ 19)$

[maxmatem]

я ещё не изучал по теории чисел, теорию сравнений! как по другому

[ИСН]

Да там нечего изучать, она проще велосипеда. Сел и поехал.

[maxmatem]

ну может вы предложите как док-ть данную задачу?

[jetyb]

Теория сравнений только упрощает решение. Здесь возможно эквивалентное решение без ее использования школьными методами.
$(19a+b)^n\equiv b^n(mod\ 19)$
означает, что $(19a+b)^n-b^n$ делится на 19. Это понятно?
А если $c-d$ делится на 19, то $c$ и $d$ при делении на 19 дают одинаковый остаток.

[gris]

Вначале приведите всё к одному показателю степени, наименьшему. Чтобы было понятнее, обозначим его через $m=n-1$
Тогда $n=m+1$. Подставим

$$5^{2n+1}+3^{n+2}\cdot 2^{n-1} = 5^{2m+2+1}+3^{m+1+2}\cdot 2^{m}=125\cdot 5^{2m}+27\cdot 3^{m}\cdot 2^{m}=125\cdot 25^{m}+27\cdot 6^{m}$$

[maxmatem]

а разве из последнее равенство делится на 19?

-- Чт сен 10, 2009 23:19:12 --

а разве последнее равенство делится на 19?