Итерации с множествами и их элементами

[juna]

Дано $k$ попарно непересекающихся множеств $A_1,A_2,..,A_k$.
Изначально каждому множеству ставится в соответствие некоторое действительное число, т.е. $\forall i=1..k \exists \varphi_i:A_i\to\alpha_i\in \mathbb R$.
Между некоторыми элементами множеств определено отношение эквивалентности:
$\exists i,j:a_i\equiv a_j,a_i \in A_i,a_j\in A_j$.
Также изначально каждому элементу каждого множества ставится в соответствие некоторое действительное число:
$\forall i=1..k,j=1..|A_i|\exists \psi_{i,j}:a_{i,j}\to\beta_{i,j}\in\mathbb R$
Далее происходит итеративное уточнение:
$\forall i,j: \beta_{i,j}^s=\sum\limits_{l=1}^{k}\frac{\alpha_l^{s-1}}{\alpha_{max}^{s-1}}}\cdot\sum\limits_{n=1, a_{i,j}\equiv a_{l,n}}^{|A_l|}\frac{\beta_{l,n}^{s-1}}{\beta_{max}^{s-1}}$
$\forall i:\alpha_i^s=\sum\limits_{j=1}^{|A_i|}\frac{\beta_{i,j}^{s-1}}{\beta_{max}^{s-1}}$,
где $s$ - номер итерации, $\alpha_{max}^{s-1},\beta_{max}^{s-1}$ - максимальные числа из векторов $\overline\alpha,\overline\beta$ для заданной итерации соответственно.
Вопрос: доказать или опровергнуть, что при любых начальных условиях $\overline\alpha,\overline\beta$ процесс сходится к неподвижной точке.

[maxal]

Что-то не так с обозначениями. Например, почему $\varphi_i$ зависит от $i$? Если я правильно понял словесное описание, то должно быть $\varphi: A\rightarrow \mathbb{R},$ где $A=\{ A_1,\dots, A_k\}.$
Аналогичные непонятки с $\psi$ - почему его существование идет после кванторов для $i$ и $j$, если от них это отображение не зависит? Если я правильно понял словесное описание, то должно быть $\psi : \cup A_i \rightarrow \mathbb{R}$ или хотя бы $\psi_i : A_i \rightarrow \mathbb{R}$ (если одинаковые элементы в разных множествах могут отображаться в разные числа).
Эта запись также непонятна:

juna в сообщении #241960 писал(а):

Между некоторыми элементами множеств определено отношение эквивалентности:
$\exists i,j:a_i\equiv a_j,a_i \in A_i,a_j\in A_j$

[juna]

Спасибо, я попытался исправить в первоначальном сообщении.
$\forall i=1..k \exists \varphi_i:A_i\to\alpha_i\in \mathbb R$
Это означает, что для каждого множества существует свое действительное число. Можно считать, что первоначально каждому множеству сопоставляется случайное действительное число. Аналогично и с элементами.

maxal писал(а):

если одинаковые элементы в разных множествах могут отображаться в разные числа

Нет одинаковых элементов в разных множествах, они попарно непересекаются.

Цитата:

$\exists i,j:a_i\equiv a_j,a_i \in A_i,a_j\in A_j$

В разных множествах некоторые элементы связаны некоторым отношением, в принципе, не важно каким (в исходной формулировке отношением эквивалентности).

P.S. по-моему, нечто подобное используется в google для определения важности сайтов и ссылок на них (множества - сайты, элементы - ссылки на другие сайты).

[Профессор Снэйп]

maxal в сообщении #242224 писал(а):

Что-то не так с обозначениями.

Ага. Кванторы вообще не в тему расставлены. Понять, что хотел автор, конечно, можно, но лучше бы условие было оформлено по человечески.

-- Пт сен 11, 2009 21:50:09 --

juna в сообщении #241960 писал(а):

Между некоторыми элементами множеств определено отношение эквивалентности:
$\exists i,j:a_i\equiv a_j,a_i \in A_i,a_j\in A_j$.

Вот этого я вообще не понял. Что имелось в виду, что определено?

Если речь идёт действительно об эквивалентности (имеется в виду общепринятое значение термина "эквивалентность"), то связанные отношением элементы должны принадлежать одному и тому же множеству.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1% ... 1%82%D0%B8

[juna]

Профессор Снэйп писал(а):

Если речь идёт действительно об эквивалентности (имеется в виду общепринятое значение термина "эквивалентность"), то связанные отношением элементы должны принадлежать одному и тому же множеству.

Возьмем два предложения русского языка (два множества). Определим между словами (элементами множеств) этих предложений отношение "начинается с одинаковой буквы" - оно рефлексивно, транзитивно и симметрично. Разве это одно и тоже предложение?
В тоже время никто не запрещает рассматривать эквивалентные элементы как одно множество, или даже два предложения как одно множество, разбив его на классы эквивалентности.
Терминологию, конечно, можно уточнять, но если условие задачи понятно, то хотелось бы, чтобы помогли по сути.