Минимальный порядок подгруппы

[sladkaya2311]

H подгруппа $S_8 $. В H есть 8-цикл,6-цикл,4-цикл. Помогите найти пожалуйста минимальный порядок группы H

[maxal]

Для начала можно упростить задачу - если в подгруппе есть цикл длины 8, то в ней также есть цикл длины 4. Поэтому условие о наличие цикла длины 4 излишне.
Вспомните также следствие теоремы Лагранжа о связи порядка элемента группы и самой группы.

[Профессор Снэйп]

maxal в сообщении #242239 писал(а):

Для начала можно упростить задачу - если в подгруппе есть цикл длины 8, то в ней также есть цикл длины 4.

Вот это я не понимаю.

У нас $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8)^2 = (a_1,a_3,a_5,a_7)(a_2,a_4,a_6,a_8)$. То есть квадрат "8-цикла" --- это не "4-цикл", а произведение двух коммутирующих "4-циклов", и наличие в подгруппе "4-цикла" из наличия "8-цикла" никак не следует.

Если, конечно, автор не понимает под "$n$-циклом" просто элемент порядка $n$.

[maxal]

Профессор Снэйп в сообщении #242390 писал(а):

Если, конечно, автор не понимает под "$n$-циклом" просто элемент порядка $n$.

Почти. Под $n$-циклом я подразумевал циклическую подгруппу порядка $n$.

[Профессор Снэйп]

Тогда пусть автор начнёт с того, что даст определение $n$-цикла

[bot]

Профессор Снэйп, ну дык и какого порядка будет этот квадрат?

[Профессор Снэйп]

bot в сообщении #242395 писал(а):

Профессор Снэйп, ну дык и какого порядка будет этот квадрат?

Этот квадрат будет иметь порядок $4$, но не будет являться 4-циклом

[bot]

Да я уже понял - в контексте вопроса о порядке подгруппы, я даже и не заметил неосторожности maxalа, назвавшего 4-циклом элемент порядка 4.