2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение08.09.2009, 18:21 
Аватара пользователя


08/02/09
23
Тула
В школе довольно успешно "вдалбливают" школьникам, что на ноль делить нельзя. А теперь они впадают в ступор при составлении канонического уравнения прямой с направляющим вектором, например, (-1; 0; 2).

Как правильно объяснить сей "парадокс"? :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение08.09.2009, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
Каноническое уравнение прямой -- лишь символическая запись, 0 в знаменателе только показывает соответствующую координату направляющего вектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение08.09.2009, 19:15 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
weather_wise в сообщении #241531 писал(а):
В школе довольно успешно "вдалбливают" школьникам, что на ноль делить нельзя.
Надеюсь, в ВУЗе им не вдалбливают обратное...

Цитата:
А теперь они впадают в ступор при составлении канонического уравнения прямой с направляющим вектором, например, (-1; 0; 2).

Как правильно объяснить сей "парадокс"? :?:

Возможно, так: уравнение
$$ \frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b=\frac{z-z_0}c,$$естественно, справедливо только при $a,b,c\not=0$. Условно его пользуют и для случая, когда одна-две компоненты направляющего вектора равны нулю, понимая под этим, что из дополненного уравнения$$ \frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b=\frac{z-z_0}c=\color{blue} t$$получаются правильные параметрические уравнения прямой $[x=f_x(t),\:y=f_y(t),\:z=f_z(t)]$.
Возможно, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение08.09.2009, 21:31 
Заслуженный участник


11/05/08
31752
Правильная версия такая. Дескать, дети, делить на ноль, конешно, низзя. Но. Если формально перенести все нехорошие ноли в противоположные части -- получатся вполне осмысленные выражения. Вот ровно в этом смысле и следует понимать соотношения исходные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение11.09.2009, 15:44 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
AKM в сообщении #241542 писал(а):
Как правильно объяснить сей "парадокс"? :?:
Возможно, так: уравнение
$$ \frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b=\frac{z-z_0}c,$$естественно, справедливо только при $a,b,c\not=0$. Условно его пользуют и для случая, когда одна-две компоненты направляющего вектора равны нулю, понимая под этим, что из дополненного уравнения$$ \frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b=\frac{z-z_0}c=\color{blue} t$$получаются правильные параметрические уравнения прямой $[x=f_x(t),\:y=f_y(t),\:z=f_z(t)]$.
Возможно, так?


Может, стоит заменить "каноническую" форму уравнения системой

$$
\left\{
\begin{array}{lcr}
b(x-x_0) &=& a(y-y_0) \\
c(x-x_0) &=& a(z-z_0) \\
c(y-y_0) &=& b(z-z_0)
\end{array}
\right.
$$

Ведь особо большого смысла в канонической записи нет. Единственное преимущество заключается в том, что пишется всё в одну строчку.

Добавлено позднее

Н-да... А чем плоха формула

$$
bc(x-x_0) = ac(y-y_0) = ab(z-z_0)
$$

Тоже ведь в одну строчку, и вроде всё учтено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение12.09.2009, 22:22 
Заслуженный участник


27/06/08
3337
Волгоград
weather_wise в сообщении #241531 писал(а):
В школе довольно успешно "вдалбливают" школьникам, что на ноль делить нельзя. А теперь они впадают в ступор при составлении канонического уравнения прямой с направляющим вектором, например, (-1; 0; 2).

Как правильно объяснить сей "парадокс"? :?:
Я обычно говорю, что соответствующее выражение следует понимать как пропорцию, которая определяется не через деление, а через умножение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение12.09.2009, 22:53 
Заслуженный участник


11/05/08
31752
Профессор Снэйп в сообщении #242357 писал(а):
Ведь особо большого смысла в канонической записи нет.

Зато есть очень большой смысл в параметрической записи (откровенно эквивалентной канонической). Это -- уравнения равномерного движения точки вдоль прямой.

А вот предложенная Вами система -- и впрямь ни уму ни сердцу. Ну разве что как-то особо исхитриться...

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение13.09.2009, 12:54 


20/04/09
1067
теме этой место не здесь , а в "помогите решить..."
каноническое уравнение прямой пришло из проективной геометрии, именно там и разъясняется геометрическая природа этого "деления на ноль"
в аналитической геометрии это уравнение рассказывается просто по традиции, для решения задач оно не нужно, вместо него можно использовать параметрическое уравнение прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение13.09.2009, 17:18 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
terminator-II в сообщении #242914 писал(а):
в аналитической геометрии это уравнение рассказывается просто по традиции, для решения задач оно не нужно, вместо него можно использовать параметрическое уравнение прямой.


Ага. Если б мне дали прочитать курс ангема, я бы параметрическим уравнением и обошёлся. Ну ещё бы аналитическое задание прямой как пересечение двух плоскостей рассмотрел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение13.09.2009, 18:53 
Заслуженный участник


11/05/08
31752
terminator-II в сообщении #242914 писал(а):
в аналитической геометрии это уравнение рассказывается просто по традиции, для решения задач оно не нужно,

Нужно. И не только по традиции, но и хотя бы потому, например, что оно на плоскости сразу даёт уравнение прямой, проходящей через две точки. (В пространстве тоже, конечно, но там система получается несколько неуклюжей, а вот на плоскости эту формулу можно считать обязательной.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение16.09.2009, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16823
Москва
Профессор Снэйп в сообщении #242357 писал(а):
Н-да... А чем плоха формула

$$
bc(x-x_0) = ac(y-y_0) = ab(z-z_0)
$$


Тем, что уравнение $\frac{x-x_0}1=\frac{y-y_0}0=\frac{z-z_0}0$, которое должно определять прямую
\(\begin{cases}y-y_0=0,\\ z-z_0=0,\end{cases}\)
превращается в $0=0=0$.

Я обычно вывожу каноническое уравнение из параметрического, предполагая, что все координаты направляющего вектора ненулевые, а потом говорю, что, поскольку уравнение удобное, им пользуются и тогда, когда некоторые (но не все) координаты равны $0$, и объясняю, как его интерпретировать в этом случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение16.09.2009, 22:36 
Заслуженный участник


11/05/08
31752
Someone в сообщении #243947 писал(а):
Я обычно вывожу каноническое уравнение из параметрического,

А я, кстати, ровно наоборот. Исходя из того, что канонические уравнения геометрически очевидны (проблемы с нулями в знаменателе на тот момент можно проигнорировать). А потом приписываем к той цепочке равенств параметр справа, и -- бац.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение17.09.2009, 03:20 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Someone в сообщении #243947 писал(а):
Тем, что уравнение...превращается в $0=0=0$.


Н-да, действительно, недоглядел :oops: Получается, что только система.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение18.09.2009, 18:01 


20/04/09
1067
ewert в сообщении #243093 писал(а):
Нужно. И не только по традиции, но и хотя бы потому, например, что оно на плоскости сразу даёт уравнение прямой, проходящей через две точки

параметрическое уравнение тоже дает;
а может лучше уравнение прямой проходящей через две точки и уравнение плоскости проходящей через три точки писать в терминах определителей.



ewert в сообщении #243949 писал(а):
Someone в сообщении #243947 писал(а):
Я обычно вывожу каноническое уравнение из параметрического,

А я, кстати, ровно наоборот. Исходя из того, что канонические уравнения геометрически очевидны

параметрическое уравнение тоже геометрически очевидно. А главное оно записывается в инвариантной форме: $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}_A+t\overrightarrow{a}$ ($\overrightarrow{a}$ -- направляющий вектор прямой, $\overrightarrow{r}_A$ -- радиус вектор точки через которую проходит прямая.
Если очень хочется что бы прямая проходила через точки $A,B$ можно так $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}_A+t\overrightarrow{AB}$
или даже так $\overrightarrow{r}=t\overrightarrow{r}_A+(1-t)\overrightarrow{r}_B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление на ноль и аналитическая геометрия
Сообщение18.09.2009, 22:16 
Заслуженный участник


11/05/08
31752
terminator-II в сообщении #244429 писал(а):
параметрическое уравнение тоже геометрически очевидно.

Это всё верно, конечно. Но: каноническое уравнение на плоскости даёт готовый ответ, и притом сразу, и притом в окончательной форме (особые случаи никому не интересны). А уравнения на плоскости -- практически и среднестатистически гораздо важнее, чем в пространстве, это опыт показывает. Ну и.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group